《新教材》高中数学人教A版选择性测评1-3空间向量及其运算的坐标表示

1.3空间向量及其运算的坐标表示课后篇巩固提升必备知识基础练1.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)解析∵a=(-3,4,12),且AB=2a,∴AB=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.答案D2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有()A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)C.a=(0,-3,2),b=0,1,-32D.a=1,-12,3,b=(-2,1,-6)解析对于B,有a=-3b,故a∥b;对于D,有b=-2a,故a∥b;而对A,C中两向量,不存在实数λ,使a=λb,故不平行.答案BD3.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.30° B.45° C.60° D.90°解析由已知得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB与AC的夹角为答案C4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=()A.7 B.22 C.3 D.10解析∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),∴|a+b|=32+02答案D5.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行解析设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,1∴MN=-12,-12,0,CC1AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1MN·CC1=0,∴MN⊥CC1,故A正确;MN·AC=12-12=0,∴MN⊥AC,故B正确;易知∴MN∥BD,故C正确;设MN=λA1B1,得-12=0×λ,-12=λ,0=0×λ答案D6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.

解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.答案-87.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c与b+c所成角θ的余弦值cosθ=5-12+3388.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标.解(1)∵BM=∴BM=AD+1=-12AB+12AD+12AP(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,∴c=AP=OP-OA=1∴BM=-12a+12b+12c=-12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,1关键能力提升练9.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,则实数z的值为(A.5 B.-5C.5或-5 D.-10或10解析因为OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(z-x,3-y,解得x=10,y答案C10.(2020北京东直门中学高二上期中)已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(A.12,34,13C.43,43,83解析点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ∴QA·QB=6λ-432-23,当λ=43时,QA·QB取得最小值43,此时,Q4答案C11.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)解析A中,设a=xb+yc,则1=3解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面;B中,设a显然无解,因此a,b,c不共面;同理,C中c=a-b,a,b,c共面,D中a,b,c不共面.故选AC.答案AC12.(多选题)(2020山东莱州第一中学高二上期末)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是()A.AB1与BC1成60°角B.若CN=13NC1,面A1MN交C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于2D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D解析如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,AB1=(0,2,-2),BC1=(cos<AB1,∴AB1与BC1成60°角,故A正确;对于B,∵CN=∴N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(-1,2,0),A1N=-2,2,32,A1E=(-2,m,2),由已知得A1,M,N∴∃λ,μ∈R,使得A1M=λA1N得-1=-∴E0,43,2,∴CE=0,-23,0,|CE|=23,故B错误;对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,由MP·DB1=2+2y-4-2z=∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为2,故C正确;对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB∴DE=23DB1=23×(2,2,-2)=43,43,-43,则E43,43,23,F23,43,0,则EF=-23,0,-23,则=-43-43(-23)cosβ=|cos<EF,=-43+4故β=π2,即α+β=π2,故D正确.故选答案ACD13.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若|PQ|=3|MN|,且PQ∥MN,则MN的坐标为,点Q的坐标为解析由已知得MN=(1,1,1),设Q(x,y,z),则PQ=(x+1,y-2,z+3),由题意,得(解得x故点Q的坐标为(-4,-1,-6)或(2,5,0).答案(1,1,1)(-4,-1,-6)或(2,5,0)14.已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则PA·PC的取值范围是解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则PA=(-x,-y,1),PC=(1-x,1-y,1),∴PA·PC=-x(1-x)-y(1-y)=x-122+y-122+12,当x=12,y=12时,PA·当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,PA·PC有最大值∴PA·PC的取值范围是12,1答案12,115.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC>=故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).学科素养创新练16.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM