宁夏石嘴山市平罗县中2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题（A卷）（含解析）

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（理科）数学（A）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.已知集合，，且，则m的值为（）

A.B.或

C或或D.或或或

2.命题“”的否定是（）

AB.

C.D.

3.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（）

A.B.

C.D.

4.下列命题中，真命题的个数是（）

①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.

A.B.C.D.

5.已知函数是奇函数，则（）

A.0B.1C.D.

6.已知函数，且，则实数的值等于（）

A.B.C.2D.

7.已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（）

AB.C.D.

8.设，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.函数的单调减区间是（）

A.B.

C.D.

10.偶函数满足，当时，，则（）

A.B.C.D.

11.如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）

A.B.

C.D.

12.已知函数是定义在R上奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（）

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13.函数定义域为______.

14.设命题函数是增函数；命题方程表示椭圆.若是真命题，则实数的取值范围是_________.

15.已知在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.

16.函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是__________.

①既不是奇函数也不是偶函数；

②的最小正周期为4；

③在上单调递减；

④是的一个最大值；

⑤.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

17.在数列中，，，设.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和.

18.如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

（1）证明：平面CBD⊥平面ABD；

（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

19.某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30%.

周平均阅读时间语文成绩少于10小时不少于10小时合计

低于75分

不低于75分100

合计250

（1）完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？

（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.

附：，

0.0250.0100.001

5.0246.63510.828

20.已知椭圆C：的离心率是，点在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．

21.已知函数．

（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，恒成立，求a的取值范围．

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4—4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．

选修4—5：不等式选讲

23.已知．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，恒成立，求实数m的取值范围．

平罗县中2022-2023学年高二下学期期末考试

（理科）数学（A）答案解析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.已知集合，，且，则m的值为（）

A.B.或

C.或或D.或或或

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.

详解】由可得或，解得，，或.

又集合与，故，故，或.

故选：C

2.命题“”的否定是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：D.

3.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先对复数化简求出复数实部和虚部，然后根据题意列不等式组求解即可

【详解】，

因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，

所以，解得，

故选：A

4.下列命题中，真命题的个数是（）

①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的解析式可判断①，根据原命题的逆否命题的真假判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据回归分析的性质可判断④.

【详解】对①，函数，与不是同一个函数，故①错误；

对②，“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题也为真命题，故②正确；

对③，随机变量，则其正态分布图象关于对称，，故③错误；

对④，在回归分析模型中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，故④错误.

故选：B

5.已知函数是奇函数，则（）

A.0B.1C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的定义求解即可.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，

经验证，，故.

故选：B.

6.已知函数，且，则实数的值等于（）

A.B.C.2D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；

【详解】令，解得或由此解得，

故选：D

7.已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】将问题转化为“，”为真命题，即可根据最值求解.

【详解】由于命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，

故即可，由于函数在单调递增，故当，

因此，

故选：C

8.设，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.

【详解】解不等式得，

不等式化为，所以，

因为为的真子集，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

9.函数的单调减区间是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先真数需要大于零，设，考查其单调性，再结合函数的单调性，根据复合函数的单调区间满足的“同增异减”原则即可判定.

【详解】令，得或

设，则在上为减函数，

又在上为增函数；

可得的单调减区间为，

故选：

10.偶函数满足，当时，，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件可得函数的周期为4，再利用周期和偶函数的性质可求得结果.

【详解】因为满足，所以，

所以是以4为周期的周期函数，

因为为偶函数，且当时，，

所以，

故选：A

11.如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．

详解】因为是边长为2的等边三角形，

所以当时，设直线与交点为，

当点在中点左侧时，，，

此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，

当点在中点右侧时，，

此时左侧部分面积为：，

此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，

故选：D

故选：D．

12.已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可判断函数的奇偶性和单调性，进而分两种情况即可求解.

【详解】由，且，都有可知函数在上单调递减，

记，则所以为偶函数，

因此在单调递增，且，

不等式等价于和，

故或，解得或，

故不等式的解为，

故选：C

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13.函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】由即可求出.

【详解】由，解得且，

所以的定义域为.

故答案为：.

14.设命题函数是增函数；命题方程表示椭圆.若是真命题，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出命题、命题为真时参数的取值范围，再取交集即可.

【详解】若命题函数是增函数为真命题，则，解得，

若命题方程表示椭圆为真命题，则，解得或，

因为是真命题，所以为真命题且为真命题，

所以或，即实数的取值范围是.

故答案为：

15.已知在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．

【详解】若函数在上是单调减函数，

则，解得，

即，

故答案为：．

16.函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是__________.

①既不是奇函数也不是偶函数；

②的最小正周期为4；

③在上单调递减；

④是的一个最大值；

⑤.

【答案】②③⑤

【解析】

【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得，再结合前面的可得，，从而可得为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.

【详解】对于①②，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，所以，

因为为奇函数，所以，所以，

所以，所以，，

所以为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，

对于③，因为为奇函数，在上单调递增，所以在上递增，

因为的图象关于直线对称，所以在上递减，

因为的周期为4，所以在上单调递减，所以③正确，

对于④，因为的定义域为R，且为奇函数，所以，

因为在上递增，在上递减，的周期为4，所以在上递增，，所以在上的最大值为，

因为，所以不是的一个最大值，所以④错误，

对于⑤，因为，所以当时，得，当时，得，所以，

因为的周期为4，所以，所以⑤正确，

故答案为：②③⑤

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性、单调性、对称性和周期性的综合问题，解题的关键是由已知条件得到为奇函数，周期为4，再根据对称性研究一个周期上函数的性质，考查计算能力，属于较难题.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

17.在数列中，，，设.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等比数列的定义证明；

（2）由（1）得到，再利用分组求和求解

【小问1详解】

证明：因为，，

所以数列是等比数列；

小问2详解】

由，

，

，

所以

，

，

.

18.如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

（1）证明：平面CBD⊥平面ABD；

（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取BD的中点O，连接OC，OE，令，则，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由线面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可证得结论；

（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【小问1详解】

证明：取BD的中点O，连接OC，OE，

令，因为AB⊥BD，，所以，

因为E是AD的中点，所以，

因为BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，

因为，所以OC⊥OE，

因为平面ABD，，

所以OC⊥平面ABD，

因为平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD

【小问2详解】

分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则

，

所以，

设平面ACD的法向量为，则，

，令，则，

设直线BC与平面ACD所成角为，则

，

所直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.

19.某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30%.

周平均阅读时间语文成绩少于10小时不少于10小时合计

低于75分

不低于75分100

合计250

（1）完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？

（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.

附：，

0.0250.0100.001

5.0246.63510.828

【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关

（2）分布列见解析，2

【解析】

【分析】（1）根据题意先求出样本中语文成绩不低于75分的人数，然后结合表中的数据可完成列联表，再利用公式可求出，然后根据临界值表进行判断，

（2）由题意可知，求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望.

【小问1详解】

由题意得样本中语文成绩不低于75分的人数为人，

则列联表如下：

周平均阅读时间语文成绩少于10小时不少于10小时合计

低于75分200150350

不低于75分50100150

合计250250500

所以，

所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关

【小问2详解】

在成绩不低于75分的样本中，抽取周阅读时间少于10小时的3人，抽取周阅读时间少于10小时的6人，故，

，，

，

所以X的分布列为

X0123

P

所以．

20.已知椭圆C：的离心率是，点在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．

【答案】（1）

（2）证明见解析，定点.

【解析】

【分析】（1）根据离心率和过点即可求出即可求出椭圆方程；

（2）先设直线根据根与系数的关系结合中点坐标，可求关系即可得出定点.

【小问1详解】

由题意得：，，

椭圆C的方程为

【小问2详解】

由题意得：

设，

由得：，

，

直线AP：

当时，，即M的坐标为

同理可得：N的坐标为

，即：

直线l过定点.

21.已知函数．

（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）在上的单调递增

（2）

【解析】

【分析】（1）求导得，分，分别确定导数的符号，从而得函数单调性；

（2）方法一：转化不等式，构造函数令，，求导，对函数进行单调性讨论，即可求得函数最值，从而得a的取值范围；方法二：令，，，将不等式转化为函数凸凹性应用，求导结合图象分析即可求得a的取值范围.

【小问1详解】

当时，，，

当时，，，

即：在上恒成立

所以在上的单调递增.

【小问2详解】

方法一：

由得：

当时，恒成立，符合题意

令，

由（1）得：在上的单调递增，

①当时，

所以在上的单调递增

所以，符合题意

②当时，，

∴存在，使得

当时，；

所以在上的单调递减，

当时，，这不符合题意

综上，a的取值范围是.

方法二：

令，，

则，符合题意

，

由（1）得：在上恒成立，在上单调递增

所以，

所以在上单调递增，其图象是下凸的，如图：

所以