北京英才学校高三数学文模拟试题含解析

北京英才学校高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则不等式的解集为

（

）A． B．

C. D．参考答案：C略2.某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6 B．12 C．24 D．36参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：分类讨论：①甲部门要2个电脑编程人员和一个英语翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和一个英语翻译人员，分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论解答：解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种，故选：B．点评：本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法3.若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到ab关系，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，可得：，可得a2=b2，c=a，e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．4.若x为实数，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B5.已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩?RB=（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣1＜x+1＜1，即﹣2＜x＜0，∴A=（﹣2，0），由B中的不等式变形得：（）x≥2=（）﹣1，解得：x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]，∵全集为R，∴?RB=（﹣1，+∞），则A∩（?RB）=（﹣1，0）．故选：C．6.要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）

A.向右平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向左平移个单位参考答案：B略7.用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为(

)A．54

B．72C．90

D．108参考答案：D8.在?ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则?=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算【解答】解以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（，）=（，），∴=（﹣3，）．==﹣12，故选：D9.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.右边是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出y的结果也恰好是3，则？处的关系是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）＝cosx－lgx零点的个数为＿＿＿＿＿参考答案：3

函数零点即与的图像交点.如图.,,故有3个交点.

12.平面直角坐标系xoy中，不等式所表示的区域的面积为

．参考答案：13.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线：

,(为参数）与曲线

：,（为参数）相交于两个点、，则线段的长为

.参考答案：4略14.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是

参考答案：1815.如图，点D是△ABC的边BC上一点，，，，，AC=_____。参考答案：【分析】由已知及余弦定理可求，结合范围，即可求得，求得，利用正弦定理即可得解的值．【详解】，，，，由余弦定理可得：，，，，由正弦定理可得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为

▲

．参考答案：417.已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|=．参考答案：1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi，得到1﹣a﹣bi=﹣b+（a+1）i，根据系数相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模．【解答】解：设z=a+bi，则==i，∴1﹣a﹣bi=﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且，.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.参考答案：（1）设椭圆方程为，由题意又∵即∴

故椭圆方程为

…………4分（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，∵，故

……………6分于是设直线为，由得

…………8分∵又得

即

由韦达定理得解得或（舍）

经检验符合条件则直线的方程为:………14分19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD＝1，，点E在棱AB上移动.

（1）若E为AB中点，求证：；

（2）若E为AB中点，求E到面的距离；

（3）AE等于何值时，二面角的大小为参考答案：解析：方法一：（1）证明：PD垂直于底面ABCD，在矩形ABCD中，AD＝1，，E为AB中点，可得，，，又……………4分

（2）设点E到平面的距离为h，由题设可得计算得

则……………8分（3）过D作，垂足为H，连则为二面角的平面角.设，在直角中，在直角中，在直角中，在直角中，，在直角中，因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为……12分方法二：以Ｄ为原点，如图建立空间坐标系，有（1）证明：因为E是AB中点，有∵，，∴，所以……………4分（2）解：因为E是AB中点，有，

设平面的法向量为则也即，得，从而，点E到平面的距离………8分（3）设，平面的法向量为由令，得则于是（不合，舍去），即时，二面角的大小为…12分20.已知函数（1）若，求不等式的解集.（2）对任意的，有，求实数m的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值的几何意义分析解答得解.【详解】（1），所以解之得不等式的解集为.(2)当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，所以，所以，当时，不等式恒成立，当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得，所以m没有解.综上，.【点睛】本题主要考查利用分类讨论法解绝对值不等式，考查利用绝对值的几何意义分析不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程；（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标.【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以，,抛物线的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.当直线斜率存在时，设直线的方程为设，将直线与抛物线联立得：又，即，，，将①代入得，即得或