任意对数阶精度交错网格差分格式的讨论

任意对数阶精度交错网格差分格式的讨论

地震波场值模拟是地震学和地震勘探的重要基础，在地震学和地震勘探的所有过程中起着重要作用（pedrin等人，2004）。通过正演模拟技术,可以模拟地震波在各种地质结构中的传播规律,可为地震资料处理解释中各种方法的应用提供标准的先验数据体,检测方法的实用性(赵海波等,2011;张华等,2012)。有限差分方法因其计算效率高、占用计算内存小等特点,成为当前最常用的数值模拟方法(张英杰等,2007;吕玉增等,2011)。交错网格技术相对于规则网格在复杂模型模拟和模拟精度等方面都有较大的优势(李红星等,2008;李国平等2010),交错网格引入的频散明显低于规则网格,因此地震波场数值模拟中交错网格有限差分法得到广泛应用。为得到高精度的正演模拟结果,本文基于一阶应力-速度声波方程组,运用任意偶数阶精度的交错网格有限差分格式进行了各向同性介质模型中的正演模拟。1波动方程的有限差分格式为1.1电压速度的初级声波方程根据弹性力学的分析,可得到动力学方程组和应变应力方程组。二维情况下一阶应力-速度声波方程组(张伯军,2010)如下:式中K=ρv1.2交错网格设置一阶应力-速度声波方程组各个物性参量在交错网格中的位置设置如下:空间网格中,参数P放置在规则的i,j节点上。而参数v时间网格中,参数P在规则的k节点上,v1.3)陈可洋,陈可洋本文从Taylor级数展开式出发,实现了任意偶数阶精度交错网格下的差分格式算法(刘洋等,1998;陈可洋,2009)。设函数U(x)为存在2L+1阶导数的函数,其在空间i+1/2半节点处,分别对i与i+1点进行泰勒展开处理,得到U将式(2)与式(3)相减得:类似上述推导过程,可得任意U将上式展开成线性方程式(7):解方程式得:式中a1.4时间二阶空间任意级数阶交错网格差分算法实现由式(1)给出的二维情况下一阶应力-速度方程组,可知需对v由式(1)结合式(9)及式(10)给出的一阶导数差分计算公式,便可实现时间二阶空间任意偶数阶精度交错网格下的声波方程差分格式(11)。2在数值模拟中，一些重要问题2.1震源函数的选取震源函数有多种取法,如高斯子波、雷克子波等。在波场数值模拟中,震源函数的选取对模拟结果有重要的影响(张海燕等,2007;董良国等,2004)。本文采用雷克子波作为震源函数。2.2空间域网格步长与稳定性条件对文中一阶应力-速度声波方程组任意偶数阶精度交错网格有限差分方程,通过平面谐泼的分析(裴正林等,2003),得出其数值解的稳定性条件:其中,Δt为时间域网格步长,Δx、Δz表示空间域网格步长,v2.3衰减因子的选择基于在模拟区外围附加吸收层的思想,Cerjan等(1985)提出了衰减边界条件。在模拟区域内,波按照正常的波动传播;当波到达外围衰减区时,波场乘以一个衰减因子G,使其按指数级逐渐衰减。其中:式中N为衰减区总网格数,i为衰减区的网格编号(1ue025iue025N),a为衰减系数。图3为衰减边界示意图。李信富等(2007)研究表明,衰减因子参数的选择应采取折中方法,即在取某一较小衰减系数的前提下,设置较少的衰减带网格数使边界的能量反射最小。经对模拟速度和精度的综合考虑,本文a值选用0.15,N值为50。那么在衰减区波场计算公式为:3选择测试和限制效果的比较3.1差分精度选取测试理论上说,差分算子的阶数越高,波场模拟结果也越精确。但阶数过高,会造成一定的计算困难(左莹,2007)。那么在效果与效率平衡的基础上,选取合适的差分精度是很有必要的。为确定合适的差分精度,本文进行了差分精度选取测试。测试模型为均匀各向同性介质模型,模型介质参数:v=1000m/s,ρ=1g/m通过对比分析,易得出随着空间差分阶数的提高,模拟精度也逐渐增高。空间二阶精度时,存在严重的频散现象;空间四阶精度时,频散现象明显减弱。空间八阶精度时,几乎无频散现象出现;阶数再增加,模拟精度变化不明显。因此,为得到高精确的正演模拟结果,空间差分精度不得低于八阶。本文的波场模拟都是采用空间八阶精度进行的。测试模型为均匀各向同性介质模型。震源放置在模型中心点处,震源函数频率为25Hz。选取640ms时未使用衰减边界条件和使用衰减边界条件的波场快照进行边界效果对比(图5)。4模型建模分别对不同类型的模型进行了正演模拟。模拟过程均采用时间二阶空间八阶差分精度。4.1震源模型正演模拟如图6a所示水平层状介质模型,模型大小为1000×1000m,水平分界面在埋深500m处。上层介质参数:v震源位于水平方向500m,埋深10m处,震源函数频率为25Hz。对模型进行正演模拟,得到不同时刻的波场快照。图6b和图6c分别为水平层状介质模型560ms和600ms时刻的波场快照。波场快照中,界面反射波和透射波清晰可见,边界反射被有效吸收,未出现频散现象。图6d为水平层状介质模型的共炮点记录,直达波及水平分界面z=500m处的反射波同相轴清晰。4.2震源表面组合介质模型依旧采用201×201的网格剖分,空间网格步长为5m,时间网格步长0.4ms,第一层介质模型参数:v倾斜介质模型中倾斜分界面从左边界埋深300m处延伸到右边界埋深550m处(图7a);水平分界面在埋深z=550m处。震源位于水平方向600m,埋深10m处,震源函数频率为25Hz。同样采用空间八阶时间二阶差分精度进行波场模拟。图7b和图7c分别为倾斜介质模型420ms和600ms时刻的波场快照,可清晰反映出波在模型中的传播规律。边界反射被有效吸收,但存在轻微频散现象。图7d为倾斜介质模型的共炮点记录,图中直达波同相轴和界面反射波同相轴清晰明显。边界反射被有效吸收,整体效果良好。4.3介质模型的建立如图8a所示断层介质模型,断层分界面中,垂直段在x=600m处,从埋深380m延伸到520m。断层水平段一部分在埋深380m处,水平坐标x=0至x=600之间;水平段另一部分在埋深520m处,水平坐标x=600至x=1000m之间。第二、三层介质的水平分界面在z=600m处。第一层模型的介质参数为:v震源位于水平方向500m,埋深10m处,震源函数频率为25Hz。采用同样的差分精度对断层介质模型进行模拟试算。图8b和图8c分别为420ms和600ms时刻的模型波场快照,充分反映出断层介质模型中波的传播规律。图中可清晰分辨出界面反射波和透射波,以及断层的断点上产生的绕射波;边界反射吸收效果良好,未出现频散现象。图8d为断层介质模型的共炮点记录。图中直达波、断层界面的反射波及水平界面反射波同相轴清晰。断层上下水平段界面对应的反射波同相轴末端,都伴随着明显的绕射波同相轴,与实际情况相符合。5数值模拟效果高偶数阶交错网格有限差分数值模拟方法可以清晰模拟出波在地下介质中的传播规律。本文方法模拟精度高,计算效率快,能有效压制频散噪音,边界反射吸收效果良好,充分证实了该数值模拟方法的准确性和可行性,具有较高的应用价值。可以推广应用于三维声波高精度正演模拟中,帮助我们深入学习和研究地震波