mm教育方式下常微分方程教学实验方案的设计与实施

mm教育方式下常微分方程教学实验方案的设计与实施

常微分方程是高师数学专业的一门基础课程，起着连接上、下、左、右基础支持作用。广泛应用于物理、电子技术、自动控制、宇宙空间、遗产等学科和领域。因此，它已成为数学和科学实践的主要途径之一。当前为了适应高等教育快速发展的需要,如何提高数学专业基础课程的课堂教学效益、培养学生良好的数学思维和创新能力,是摆在广大高校数学教师面前的重要课题,应引起广泛的关注。笔者两年来在本科班开展常微分方程课堂教学改革实验,运用MM教育方式进行创新教学,创设和实施了MM教学实验方案,并获得了许多有益的教学体验和初步效果、现作如下的回顾与总结。1自主发现算法思想根据常微分方程课程自身内容结构的特点,设计教学方案的总体目标是:通过常微分方程的MM教学,教会高师学生掌握和运用数学思想方法去“自主发现”新的数学问题,合情猜想和合理推证好的结论,从而达到善用数学方法论解决实际应用问题和提高教学、科研的创新能力的目的。其方案贯彻以MM为“纲”,以“问题解决”为“目”,以创新运用为“标”,“纲”举“目”张而达“标”的教学为指导思想。具体地说,就是始终贯穿数学方法论这条红线,围绕“问题解决”为中心,“问题探究”为途径去展开常微分方程内容的教学,简称为MM方式下的“问题探究”法实验。2以数学思想方法为核心,注重数学建模和分章分类教学2.1实验前的铺垫准备:由于常微分方程既是数学分析的直接延拓,也是后继课程复变和实变函数学习的基础,因此实验前教师认真做好如下准备工作是十分有益的。2.1.1前期先上选修课程《数学方法论》,可为教学实验奠定数学方法论的理论基础。2.1.2理顺基础课程间相关内容的衔接。教师首先应吃透和理顺数分、高代与常微方程间相关内容的衔接,尤其在一些结合点上(基术运算及技巧)要作前期铺垫,如不定积分法与技巧函数序列的一致收敛,矩阵的特征值与特征向量,线性方程(组)解的相关理论及一、二阶导数的几何、物理意义等方面的内容要强化复习。2.1.3认真上好绪论课。遵循“有了良好的开端便等于成功了一半”的格言,花大力气上好导言第一课是至关重要的。首先简单介绍常微方程的发展史,让学生明了数学方法有力地推动了数学新学科的发展的道理;接着阐释数学分析中所使用过的主要数学思想方法如建构、转化、变换、特殊化、一般化、分类讨论等思想及观察、归纳、类比等合情推理方法的范例;然后逐一分类展现微分方程的实际背景材料及问题,从而导出各类微分方程及其解等相关概念。如列举几何问题,变速直线运动问题,力学(摆)问题,电路问题,气温变化问题,物质衰变问题,经济数学问题,第二宇宙速度和海王星运行轨道等问题,以问题为趣激发学生好奇学习的积极心态。2.1.4备课的关键是重点备好数学思想方法。要分章逐节确定教材运用的主要数学思想方法,如第二章《一阶微分方程的初等解法》主要运用转化思想,具体采取恒等变形、变量变换和积分因子等方法。即一些一阶非变量分离方程可经适当的变量变换化为变量分离方程;一阶非齐线性方程可经常数变易化为变量分离方程;非恰当方程可经适宜的积分因子化为恰当方程;一阶隐方程可经适当的参数法化为导数已解出的方程;伯努利方程可经变换2.2教学实验的过程阐释:实验分别在97级和98级(2)两个本科班进行,具体采取如下新颖做法。2.2.1注重教法创新。在具体教学中采用章(节)为单元(位)进行系统的MM下的“问题探究”法,实际的教学途径是创设问题景(设疑激趣引新问题,挖掘与已知问题的异同及联系,是否可转化),巧用思想方法(针对问题新特点,选准用好思想方法),探究“自主发现”(运用观察、实验、归纳、类比、联想、猜测等合情推理探求与发现新思路),推证新知结论(严密而科学地论证新结论),获得“问题解决”(归纳解决问题的理论与方法,反思各类问题的不同解法,检验漏解情形,给出原问题的合理解答),开发实际应用(联系实际自编应用题)。2.2.2注重学法指导。用数学思想方法论来指导学生学习常微方程,会收到增“智”促”效”的学习效果。实质上,采取徐利治教授倡导的“关系映射反演”原理是最高明的学法指导方法。即在学习和研究各类微分方程(组)问题时,总是按如下RMI原理的图示进行思考是明智之举。笔者抓住两个主要环节进行学法指导即2.2.2.1建模思想的指导。引导学生从实际问题出发,优选自变量与未知函数,寻找自变量、未知函数与其导数之间的等量关系,建立相应问题的微分方程(组)模型,完成实际问题模型化的过程。笔者在教学中有目的地将社会经济生活和现代科学技术的热点问题引申进课堂,建立以下典型模型:(A)最速下降模型;(B)确定性贮存模型;(C)人口增长的马尔萨斯模型;(D)捕食者与被捕食者的伏特拉模型;(E)传染病的SIS模型等。2.2.2.2解模方法的指导。指导学生对各章内容作归纳总结和系统梳理工作,汇编成知识网络。教会学生在熟悉各类方程(组)的常规解法的基础上,对具体问题作具体分析,分别不同情况采用不同方法,还要根据方程的特点,引进适当的变换或分类方法,进行一题多解和变式的发散训练。在解模策略上我归纳出如下口诀让学生掌握:判类型,选方法;抓一般,转特殊;查网络,寻联系;先基础,后综合;重常规,变奇异:非线性找变换,非齐线用变易。2.2.3注重合情推理。充分运用归纳法将一阶五种基本方程(变量分离、齐次方程、线性方程、伯努利方程及恰当方程)归纳为变量分离和恰当方程两类基础方程求解,常糸数非齐线性方程(组)特解求法归纳为常数变易、待定系数和拉普拉斯变换三种方法;充分运用类比法将线性方程与线性方程组解的结构理论相类比,将一阶微分方程与线性微分方程组解的存在唯一性定理及逐步逼近法相类比进行合情推理教学。2.2.4注重人文教育。紧扣教材内容,讲评伯努利、黎卡提、欧拉、拉普拉斯和贝塞耳等数学家生平事绩和发明创造的史料,追寻他们当年探索相应方程解法的思维轨迹和发现过程,学习数学家独特的数学思维方式,用数学家勇于创新、勤于求索的数学精神去点燃学生学好数学的熊熊烈火,激励学生以他们为榜样,开创今后的创新学习和自主发现。2.2.5注重合作交流。现代数学教育理论认为,当今的数学课堂教学应成为师生、学生之间交互合作交流的活动过程,在这种充分合作的环境下,教师是合作的主持人和启用数学思想方法的主导者,学生是合作的主要群体和运用数学思想方法的自主者,而数学方法论就是他们进行相互交流的最好的理论武器和合作软件。在教学中我充分创设和提供这种合作交流的条件与机会,分别采取专题讨论、师生答疑、板书演讲、作业互评、说课评教、建模讲座和写作辅导等多种形式进行多向交流。在讲完伯努利方程的换元解法后,我有意识地组织同学进行《如何推广伯努利方程解法》的专题讨论,利用变式问题引导学生参予研究。首先列四道题让四组同学分别练习各组选派代表上台讲答,并诱导学生归纳出共同的解法规律即通过不同的变换得出结构相似的通解形式;接着再给出如下更一般化形式⑤dy/dx=Q(x)y⑥dy/dx=Q(x)f(x)+P(x)f(y)·∫[1/f(y)]dy[其中1/f(y)可积]。师生共同归结得出⑥的通解为dy/dx=Q(x)f[g(y)]/gΦ[g(y)]=∫d[g(y)]/f[g(y)]=e∫3重视数学方法论在常微方程学习中的应用3.1培养高师生学会“自我发现”的本领。日本筑波大学校长江崎:“学生在大学时代要学习‘自我发现’的本领”。徐利治先生又说“教育过程能有助于自我发现和自我志趣的实现”。由此可见,高师数学教育的根本任务就是培养师范生学会‘自我发现’的本领,从而“教师的主要任务是要把自学方法和研究兴趣传授给学生,‘讲课即讲学’主要是启发、鼓舞学生的钻研兴趣”,教学实验的结果证实了这个道理。实验班同学普遍对数学方法论情有独钟,认识到掌握用活数学思想方法不仅是提高常微分方程教学质量的一把金钥匙,而且对其它数学课程的教学也起到“点金术”的作用,对师范生一辈子做人处世理事都有深远的指导意义。他们在评教评学中都深有感触地写到“通过运用数学方法论指导常微方程的学习,不仅让我们饶有兴趣地学到了科学文化知识,而且更可贵的是自觉地学会了终身受益的数学思想方法——这是指导我们今后开拓教学与科研创新工作的无价之宝”。教学实验集教学、学习和研究三位一体协调发展。这体现在:一节省了教学时数,收到事半功倍的教学效果;二实验班同学学会了自主学习的方法,主动到图书馆广泛查阅学习资料,大幅度提高了学习效率和学习成绩,98(2)班期考合格率100%,优秀率达32%,不少同学还做对了附加题;三他们通过论文写作讲座的辅导后,初步形成爱钻研讲发现的良好氛围,初步学会“自我发现”新知识的本领,写出了一批颇有新见的处女作,并在数学系第四届毕业论文报告会上宣读获奖论文如《三类非线性微分方程及其初等解法》、《变量变换法解几类微分方程》、《一道微分方程的多种解法》、《微分方程的积分因子法》、《一道习题的改编与延拓》和《转化思想在解微分方程中的运用》等。3.2提高高师生的能力与素质。根据师范性的特点,有意识让学生自行改造和编制微分方程的应用题和例(习)题,教会学生掌握一般改变条件,结论、背景材料或特殊化、一般化等方法去构编新命题,有效地进行文理结合,提高了师范生今后出好试题的能力;在97级教学实习中大部分同学均能自觉运用MM教育方式备好课上课,受到实习学校师生的一致好评;对后继课程也能运用数学方法进行有效学习,大部分同学通过了大学四级英语和计算机等级考试,起到正迁移学习的作用;参加课外兴趣小组学习的同学组队参加全国大学生建模竞赛荣获三等奖,97级有30%同学积极参加考