数理方程4课件

数学物理方程主讲：王正斌E_mail:wangzb@BBS:科技教育/物理研究答疑：周二下午3：30～5：00，教2＃605室南京邮电大学、数理学院、应用物理系数学物理方程主讲：王正斌E_mail:wan1第四章、特殊函数常微分方程勒让德方程

贝塞尔方程

勒让德多项式贝塞尔函数在球坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：第四章、特殊函数常微分方程勒让德方程贝塞尔方程勒让德多项2拉普拉斯方程的一般形式为1、在球坐标系下，表示为：解：设分离变量形式的试探解代入方程得到一、勒让德方程的导出拉普拉斯方程的一般形式为1、在球坐标系下，表示为：解：设分3数理方程4课件4式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得第二个方程为球函数方程，对该方程继续做分离：代入球函数方程得到式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得第二个方程为球函数5式中第一个方程由自然边界条件构成本征值和本征函数第二个方程可以改写为

令式中第一个方程由自然边界条件构成本征值和本征函数第二个方程可6该方程称为阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。如果球坐标的极轴为对称轴

阶勒让德方程该方程称为阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。如果球坐标的极7在柱坐标系下解拉普拉斯方程：分离变量得二、贝塞尔方程的导出在柱坐标系下解拉普拉斯方程：分离变量得二、贝塞尔方程的导出8n阶贝塞尔方程(1)情况。作代换，则得

(2)情况。作代换，则得

n阶虚宗量贝塞尔方程n阶贝塞尔方程(1)情况。作代换，则得(2)情况。作代9三、亥姆霍兹方程(a)、三维波动方程为:设分离变量解为:代入方程，并移项得到：

得HelmholtzEquation三、亥姆霍兹方程(a)、三维波动方程为:设分离变量解为:代入10（b)、三维输运方程为：分离时间变量和空间变量，得：代入方程，并移项得到：得HelmholtzEquation（b)、三维输运方程为：分离时间变量和空间变量，得：代入方11在球坐标系下解亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：在球坐标系下的形式为：分离变量，得：在球坐标系下解亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：在球坐标系下的形式12展开得球贝塞尔方程阶贝塞尔方程

展开得球贝塞尔方程阶贝塞尔方程13在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式:分离变量，得：代入原方程得：在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：利用柱坐标系的Laplace方程14记常数，也即，那么上面第三个方程可以写成：对自变量做变换，那么上式变成该式即为n阶Bessel方程。记常数，也即，那么上面第三个方程可以写成：对自变量做变换15幂级数展开定义：各项均为幂函数的无穷级数：称为以为展开中心的幂级数。其中都是复常数。1、达朗贝尔判别法：若则幂级数绝对收敛。

敛散性：2、根值判别法：若，则幂级数绝对收敛；

幂级数展开定义：各项均为幂函数的无穷级数：称为以为展开中心的16泰勒(Taylor)级数展开洛朗(Laurent)级数展开幂级数展开泰勒(Taylor)级数展开可展开为幂级数称为泰勒展开系数。泰勒(Taylor)定理：若在内解析，则在此圆内，，其中为圆周，且展开唯一。(要多精确有多精确)

解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。泰勒(Taylor)级数展开洛朗(Laurent)级数展开17几个基本初等函数的泰勒展开式：解析函数：若函数f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。几个基本初等函数的泰勒展开式：解析函数：若函数f(z)在区18洛朗(Laurent)级数展开洛朗(Laurent)定理：设在环形区域则对环域上任一点可展为幂级数，其中一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。

的内部单值解析，，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园洛朗(Laurent)级数展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将非奇异项展开为Taylor级数，再和非奇异项合并洛朗(Laurent)级数展开洛朗(Laurent)定理：19特殊函数方程的级数解法

熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数；

未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会出现其它各种各样的特殊函数方程。

级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的级数，代入原方程以逐个确定系数。特殊函数方程的级数解法熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系20常微分形式：线性二阶常微分方程方程的常点：常微分方程中系数和在选定的点的邻域中是解析的，则点称为方程的常点。常微分形式：线性二阶常微分方程方程的常点：常微分方程中系数21一、常点邻域上的级数解该解可以表示为此邻域上的泰勒级数的形式:求解步骤：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来确定各个系数。方程的奇点：常微分方程中系数和在选定的点的邻域中是或的奇点，则点称为方程的奇点。一、常点邻域上的级数解该解可以表示为此邻域上的泰勒级数的形式22泰勒级数形式及其导数为化简之后得到(1)勒让德方程在的级数解泰勒级数形式及其导数为化简之后得到(1)勒让德方程在23要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为24其中为偶次幂，是偶函数，为奇次幂，是奇函数。其中为偶次幂，是偶函数，25(2)解的收敛半径由系数的递推公式可以得到因此级数和收敛于，而发散于。由于阶勒让德方程中,所以其解是收敛的。(3)解在的收敛性根据高斯判别法可以证明，级数解和在是发散的。(2)解的收敛半径由系数的递推公式可以得到因此级数26（4）解退化为多项式若，而从项起所有系数含有项均为零若再取，那么解为只含偶次幂的l阶多项式选取适当的得到一个特解，称为l阶勒让德多项式若，而从项起所有系数含有项均为零若再取，那么解为只含奇次幂的l阶多项式选取适当的得到一个特解，称为l阶勒让德多项式（4）解退化为多项式若，而从27(5)自然边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的勒让德方程在也必须为有限的成为勒让德方程的自然边界条件。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题，其本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，所以本征函数为l阶勒让德多项式。(5)自然边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离28二、奇点邻域上的级数解（1）n阶贝塞尔方程在的邻域上的解二、奇点邻域上的级数解（1）n阶贝塞尔方程在29代入Bessel方程，合并同类项得：比较等式两边系数，可得一系列方程：代入Bessel方程，合并同类项得：比较等式两边系数，可得30第二个方程(1)、先取，递推公式成为第二个方程(1)、先取，递推公式成为31因此贝塞尔方程的一个特解为:因此贝塞尔方程的一个特解为:32该级数的收敛半径为:通常取：因此只要有限，级数就是收敛的。此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为：该级数的收敛半径为:通常取：因此只要有限，级数就是收33(2)、再取，递推公式成为

(2)、再取，递推公式成为34因此贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛半径为:因此只要有限，级数就是收敛的。通常取因此贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛半径为:因此只要35此时把这个解称为-n阶第一类贝塞尔函数，记为：因此，n阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加

：可证明，当n为整数时，与线性相关，而当n不为整数时，他们线性无关。此时把这个解称为-n阶第一类贝塞尔函数，记为：因此，36贝塞尔方程对应的特解为：

贝塞尔方程对应的特解为：

只要，则是负整数

负整数的函数为无限大

证明:当n为整数时，与线性相关贝塞尔方程对应的特解为：贝塞尔方程对应的特解为：只要37当n为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的不能表示为n阶Bessel方程的解当n为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的不38若取

：代入通解中可以得到另外一个特解，该特解可以作为n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数:因此n阶贝塞尔方程的通解还可以写成

：不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！当n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解！若取：代入通解中可以得到另外一个特解，该特解可以39（2）在的邻域上求解阶贝塞尔方程：解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得（2）在的邻域上求解阶贝塞尔方40数理方程4课件41同理，可求得另外一个特解：因此方程的通解为由此可以推广到半奇数阶贝塞尔方程的求解

根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。同理，可求得另外一个特解：因此方程的通解为由此可以推广到半奇42n为偶数时，为偶函数n为奇数时，为奇函数第三类贝塞尔函数：汉克尔（Hankel）函数Bessel函数的奇偶性n为偶数时，为偶函数n为奇数时，43三类柱函数贝塞尔函数诺伊曼函数汉克尔函数或所以对应于贝塞尔方程的通解为或还可以把贝塞尔方程通解表示为:三类柱函数贝塞尔函数诺伊曼函数汉克尔函数或所以对应于贝塞尔方445.2、贝塞尔函数递推公式不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系5.2、贝塞尔函数递推公式不同阶的贝塞尔函数之间有一定