积分的数值方法课件

第3章积分的数值方法3.1概述3.2梯形积分法3.3抛物积分法3.4龙贝格积分法3.5高斯求积

第3章积分的数值方法3.1概述数值积分的基本思想

积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图3-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)图3-1

数值积分的几何意义

数值积分的基本思想图3-1数值积分

建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法.建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和

则分别得到梯形公式和中矩形公式。y=f(x)abab三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(yab③Simpson公式(a+b)/2作为平均高度

f()的近似值而获得的一种数值积分方法。ab(a+b)/2在这三个公式中,梯形公式是把f(a),f(b)的平均值：yab③Simpson公式(a+b)/2作为平均高度Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式是把[a,b]的中点处的函数值：

作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。

Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+（2）先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即：

以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。（2）先用某个简单函数近似逼近f(x),3.4插值求积公式

设已知f(x)在节点处有函数值,作n次拉格朗日插值多项式：式中这里多项式Pn(x)易于求积,所以可取作为的近似值，即:3.4插值求积公式

式中这里多项式Pn(x)易于求积其中

称为求积系数。给出如下定义。定义3.1求积公式其系数为时，则称求积公式为插值求积公式。(3-10)其中称为求积系数。给出如下定义。定义3.1求积公设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得

其中

当f(x)是次数不高于n的多项式时，有=0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得其中当f定义3.2

（代数精度）

设求积公式（3-10）对于一切次数小于等于m的多项式(是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）由定义可知，若求积公式（3-10）的代数精度为n，则求积系数应满足线性方程组：或)定义3.2（代数精度）设求积公式（3-10）对于一是准这是关于的线性方程组，其系数矩阵是梵得蒙矩阵,当互异时非奇异,故有唯一解。这是关于的线性方程组，其系数矩阵是梵得蒙矩阵,定理3.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。

证:充分性设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为:

又

当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。定理3.1n+1个节点的求积公式证:充分性定理3.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。

必要性若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取时所以有,即求积公式为插值型求积公式定理3.1n+1个节点的求积公式必要性若求积公式至例3.1设积分区间[a,b]为[0,2]时，取时,分别用梯形和辛卜生公式

计算其积分结果并与准确值进行比较解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示例3.1设积分区间[a,b]为[0,2]时，取计算

f(x)1xx2x3x4ex准确值222.6746.406.389梯形公式计算值2248168.389辛卜生公式计算值222.6746.676.421从表中可以看出,当f(x)是时,辛卜生公式比梯形公式更精确

一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证。f(x)取f(x)=1时，

两端相等取f(x)=x时,取f(x)=x2时,两端不相等所以梯形公式只有1次代数精度。两端相等取f(x)=1时，两端相等取f(x)=x时,取f(x)例3.2试确定一个至少具有2次代数精度的公式

解:要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2求积公式准确成立，即得如下方程组。

解之得：所求公式为：例3.2试确定一个至少具有2次代数精度的公式解:要使例3.3试确定求积系数A,B,C使具有最高的代数精度解:分别取f(x)=1,x,x2使求积公式准确成立,即得如下方程组。所得求积公式为：对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4就不准确了，所以此求积公式有3次代数精度。例3.3试确定求积系数A,B,C使所得求积公式为：对于由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如插值求积公式

有三个节点，至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精

的代数精度可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式左端例3.4考察求积公式两端不相等,所以该求积公式具有1次代数精度.三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的右端的代数精度例3.4考察求例3.5给定求积公式如下：

试证此求积公式是插值型的求积公式证:设,则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为例3.5给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积积分的数值方法课件由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。插值型求积公式为由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。

例3.6求证不是插值型的证明:设x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为：例3.6求证不是插值型的证明:设x0=-1,

例3.7给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有例3.7给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,例3.7给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度解之得其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等,而将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次例3.7给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,例3.8确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即例3.8确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解例3.8确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,两端不等,说明求积公式只有2次代数精度。解之得：例3.8确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度解构造插值求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性

构造插值求积公式有如下特点：

例3.9求证当节点为n+1个时,插值求积系数之和为例3.9求证当节点为n+1个时,插值求积系数之

(1)在积分区间[a,b]上选取节点xk(2)求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了(3)利用f(x)=xn,…验算代数精度

构造插值求积公式的步骤(1)在积分区间[a,b]上选取节点xk(3)利例3.10对构造一个至少有3次代数精度的求积公式解:3次代数精度需4个节点,在[0,3]上取0,1,2,3四个节点构造求积公式确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度例3.10对构3.4.1牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

在插值求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式其中插值多项式为：求积系数为：这里是插值基函数。即有：3.4.1牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公将积分区间[a,b]划分为n等分,步长求积节点为为了计算系数Ak,由于,所以作变量代换当时,有,于是可得：

将积分区间[a,b]划分为n等分,步长作变量代换

(k=0,1…,n)

代入插值求积公式(3-10)中，有：

称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数引进记号：

(k=0,1…,n)

则有：(k=0,1…,n)代入插值求积公式(3-10)中，容易验证

∵

∴

显然,Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬如当n=1时容易验证∵∴显然,Ck是不依赖于积分区间[a,b]以当n=2时

P127给出了n从1～8的柯特斯系数。当n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。当n=2时P127给出了n从1～8的柯特斯系数。3.4.2梯形积分法和抛物积分法的误差

在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)

梯形公式当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式

定理6.2（梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为3.4.2梯形积分法和抛物积分法的误差定理6.2（梯证:由插值型求积公式的余项其中可知梯形公式的误差为

由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不变号,在[a,b]上连续,根据高等数学中的积分中值定理,在[a,b]上存在一点η，使因此

证:由插值型求积公式的余项由于(x-a)(x-b)在[a,b（2）辛卜生公式当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式（或称抛物线公式）

定理6.3（辛卜生公式的误差）设在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为定理证明从略。

（2）辛卜生公式定理