极限与连续习题课课件

第二章极限与连续习题课第二章极限与连续习题课几何解释:一、数列极限

1．数列极限的定义

几何解释:一、数列极限1．数列极限的定义2．数列极限的运算法则

3．数列极限的主要性质

2．数列极限的运算法则3．数列极限的主要性质4．数列极限的存在准则

4．数列极限的存在准则二、函数的极限

1．函数极限的定义

2．函数的左右极限

左极限:右极限:二、函数的极限1．函数极限的定义2．函数的左右极限左极3．函数极限收敛的充要条件

4．函数极限的运算法则

3．函数极限收敛的充要条件4．函数极限的运算法则5．函数极限的主要性质

则（4）夹逼准则：若

)(3（>0或<0）,则在局部保号性：若内有5．函数极限的主要性质则（4）夹逼准则：若)(3（>0三、无穷小与无穷大

1．无穷小的基本概念

（1）无穷小的定义（2）无穷小阶的比较三、无穷小与无穷大1．无穷小的基本概念（1）无穷小的定义2．无穷小的主要性质

四、两个重要极限

1.2.则或五、解题方法及典型例题

2．无穷小的主要性质四、两个重要极限1.2.则或五、解题数列极限解题方法流程图

求可找到数列和满足应用夹逼准则验证单调有界应用单调有界准则恒等变形应用极限的四则运算法则求极限

判别的形式

为分式数列极限解题求可找到数列和应用夹逼准则验应用等价无穷小代换应用极限的四则运算法则求极限

恒等变形

求判别的形式

为无穷小,且

为未定式

或

为复合函数

应用连续函数的极限运算准则

应用重要极限函数极限解题方法流程图

应用等价无穷小代换应用极限的四则恒等变形求判别一、函数连续的基本概念

1．函数连续的定义

（1）

在点连续:

（2）

在点左连续:2.在连续的充要条件:右连续:

（3）

在区间上连续：在

每一点都连续，叫做在

连续；如果同时在

右连续，在

左连续,则叫做在连续.Ⅱ函数的连续性

一、函数连续的基本概念1．函数连续的定义（1）在3．函数连续与极限的关系

4．间断点的分类

间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点：跳跃间断点：无穷间断点：振荡间断点：（左右极限都存在）（左右极限至少有一个不存在）左右极限至少有一个是3．函数连续与极限的关系4．间断点的分类间断点第一类间断二、连续函数的运算法则

1．若都连续;

则也连续.

2．若都连续;

则也连续.

3．若都连续;

则也连续(时).

4．复合性质：若在点连续;在连续,则

在

连续.

二、连续函数的运算法则1．若三、闭区间上连续函数的性质

三、闭区间上连续函数的性质函数极限典型例题【例1】计算分析经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子约去，再求极限。解：函数极限典型例题【例1】计算分析经过计算可得分子分母分析对形如的极限，分子、分母可同除以中x的最高次，再利用可求得最终结果。【例2】计算解：分析对形如的极限，分子、分母

解：如果改为：结果如何？思考【例3】计算分析由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成的形式。解：如果改为：结果如何？思考【例3】计算分析由于解法2：解法1:因为，所以是时的无穷小，而为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知【例4】计算解法2：解法1:因为，所以注意：下面的计算是错误的。因为所以因为，故并不存在，所以不能应用极限四则运算法则。注意：下面的计算是错误的。因为所以因为，故解：【例5】计算分析本题含，当与(－0)时，有不同的结果，需要用左右极限求之。解：【例5】计算分析本题含，当解：【例6】计算而由夹逼准则得分析本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。解：【例6】计算而由夹逼准则得分析本题是求n项和的【例7】设

（1）证明存在（2）计算解：(1)由于所以又有下界即在时单调下降进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知【例7】设（1）证明存在（2）计算解：(1)由

解：(2)设则有（因，故舍去负值）注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。所以解：(2)设则有（因，故舍去负值）注

解：【例8】

计算型未定式的极限,分析这是解决方法是利用重要极限。解：【例8】计算型未定式的极限,分析这是

分析分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：【例9】

计算分析分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作恒等变

解：分子有理化极限非零部分可先提出【例10】

计算分析由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。

解：分子有理化极限非零部分可先提出【例10】计算分【例11】设即所求

解：由于，极限存在故必有，于是有，即将代回原极限式有【例11】设即所求解：由于函数连续与间断典型例题

分析求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。

解：【例1】求下列极限：(1)

(2)函数连续与间断典型例题分析求函数连续点处的极限分析

只须满足即可.

又，故当时,在处连续.【例2】设

,试确定常数,使得在连续。解:要使在连续，

只需分析只须满足【例3】设要使在内连续，试确定的值。分析在和内均连续，因此只需讨论在分界点处的连续性。解：因为已知在内连续，所以在处连续，则有所以【例3】设【例4】求函数的间断点，并指出间断点的类型。

解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为所以为间断点。而所以为第二类无穷间断点。

所以为第一类可去间断点。【例4】求函数的【例5】设

求的间断点,并说明间断点所属类型。解:由的表达式,间断点只能在无定义的点或分界点处所以是第二类无穷间断点.当时,所以是第一类跳跃间断点.当时，【例5】设求的间断点,并说明间断点所属类证明:令【例6】证明方程在区间

内至少有一个根.则在上连续,又由零点定理，至少

,使得即分析如果令，那么证明方程有根等价于有零点，因此可用零点定理证明。所以方程在区间

内至少有一个根.证明:令【例6】证明方程证明:令

【例7】设在

上连续,且证明在内至少存在一点

,使.显然在上连续,已知故则当时,可取或.而当时,由零点定理，至少,使得分析如果令，那么证明等式成立等价于有零点，因此可用零点定理证明。即.证明:令【例7】设在上分析初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间.解：函数为初等函数，【例8】求函数的连续区间，若有间断点，指出间断点的类型.为其间断点。因为所以为第二类无穷间断点.所以连续区间为和分析初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清分析所给函数是极限的形式，首先应