第二章-第2节作用于流体的力应力张量课件

§2作用于流体的力、应力张量——研究流点所受的力和性质在流体中任取一个以s为界面的体积

，作用于该体积上的力分成两类：质量力（体力）和面力（表面力）下面逐一分析之：一、质量力（体力）1、定义：质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。在大气动力学中指重力。是非接触力。2、表示方法质量力用空间中分布密度函数

表示。

1§2作用于流体的力、应力张量——研究流点所受的力和性质，

（2.19）---可以看成是力的分布密度。如果质量力是重力，则

就是重力加速度g。3、作用于有限体积元

上的质量力是：

二、面力（表面力）1、定义：面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体）作用于流体表面S上的力。如压力、粘性力、摩擦力。2、表达式以面力在表面上的分布密度来表示（记作)

（2.20）

上式中的

是作用于某个流体面积

上的表面力，面力

又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：

2（2.19）---可以看成是力的分布密度。如果质量力是重力3、质量力和面力的区别()

（1）质量力

是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的函数，即：

，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数

完全描述了。（2）面力

是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还随着受力面元取向的不同而变化，即：

是空间某一点的位置,

是该点某一个受力面元的法向单位矢。这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用确定，对于某一点

，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些面元就用区别开来了，作用在这些面元上的面力一般来说是不同的，因此，是位置

和表面法向的函数了，另外还随着时间变化。

33、质量力和面力的区别()（1）质问题那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标面平行面上的应力，则任一以为法向的面上的应力都可以通过它们及表示出来。即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量完全地描述了一点的应力状况。4问题4三、应力张量1、一些符号和名词（1）小面元

的法线方向：当

封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1当

不封闭时，可以规定一个方向为正。(2)外法向（即周围）流体通过面元对面元内流体的应力作用记为：

（或说法线正向一侧流体作用于面元上的应力以表示）

面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：

（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以

表示.）

根据牛顿的作用力与反作用力定律：

5三、应力张量（1）小面元的法线方向：当封闭时，取外法线方

注意：

一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的n只是表示面元的法向。

（3）应力矢

在直角坐标轴上的投影。记为：

注意：第一个下标表示面元的法向，第二个下标表示应力的投影方向。（4）

一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在面元的法向和切向都有投影，即：

法线方向上的投影：----法向应力切线方向上的投影：

----切向应力6注意：一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的n只2、应力张量的证明设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体MABC，如图2-3。注意：不一定垂直于YOZ,XOZ,XOY平面。72、应力张量的证明注意：不一定垂直于YOZ,XOZ,XO2.21中含的略去根据牛顿第二运动定律，有：

（2.18）

而流体所受的力

，就是上面表中所列的内容，则可以写出这这个四面体的运动方程：（体力+面力）上式中的

是三阶小量，

是二阶小量，含

的项比含

的项小一个量级。当四面体无限缩小时，

含

的项可以略去，则得到：

（2.21）又因为：

82.21中含的略去根据牛顿第二运动定律，有：（上式又可以写成：

移项为：

（2.24）

上式中的三个小面积

是

在三个坐标面上的投影，即：

（2.25）

上式中的

表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到：将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，（2.26）9上式又可以写成：移项为：（2.24）上式中的三个小面所以,应力矢

在直角坐标轴上的投影

就为：

（分别是i,j,k方向）（2.27）10所以,应力矢在直角坐标轴上的投影就为：（2.27（2.27）（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量：，，已知，则任一法向为

的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。因此三个矢量，，

，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。称下面由9个分量组成的张量为应力张量Р：Р=

，k=1,2,3,l=1,2,3(2.28)11（2.27）（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量：根据张量运算的原则，就有：

而

Р=

应力张量的9个分量中，

称为法应力（是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。其余6个量称为切应力（分量）。12根据张量运算的原则，就有：而Р=应力张量的9个分量中3、应力张量的性质（1）应力张量是一个对称张量，已经证明：

（2）不论坐标如何选择，

为一不变的量。133、应力张量的性质（2）不论坐标如何选择，为一不变的量。14、理想流体的应力张量理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：

此时只有法向应力（实际就是压力）

则根据（2.27）得到：（2-1）如果按法向和切向的分解，

，则：（2-2）

对于理想流体，没有切应力，即

，上式（2-2）就成为：

144、理想流体的应力张量此时只有法向应力（实际就是压力）则根（2-3）

将（2.1）与（2.3）对比，得到：

可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数，一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）理想流体的应力矢可以写成：

所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。，（矩阵称为单位张量）15（2-3）将（2.1）与（2.3）对比，得到：5、静止流体因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体一样了，上述对理想流体的性质依然成立。四、表面应力张量与形变速度张量的关系真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时（即剪切变形）时，在相反方向产生一切向应力，阻止变形的产生，因此切向应力与切向形变之间存在关系。流体的这种性质——粘性规律，通过它将应力张量与形变速度张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。

165、静止流体四、表面应力张量与形变速度张量的关系真实流体1、牛顿实验：1687年，建立了此关系实验（如书上P53图2.5）实验：开始-------两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。上板以速度U平行于下板移动，下板静止。此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-------速度分布如下：------显然：

这是一种切变分布。171、牛顿实验：1687年，建立了此关系实验：------显如果想保持两板之间流体的这种速度分布，则必须给上板一个与流速同向的推力（切向力），而给下板以一个与流速反向的固定力这说明流体与板，流体与流体之间存在着黏性应力，否则上板就不可能带动整个流体运动。而且，对上下板所施的力，就是用来克服流体对板的黏性力。实验测量证明：此流动中的粘性应力矢处处相同的，用

表示

18如果想保持两板之间流体的这种速度分布，则必须给上牛顿粘性定律（2.35）

称为（动力学）粘性系数或内摩擦系数。（流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数，一般内、外摩擦系数取值一样.）牛顿粘性定律给出了粘性应力

与形变率

的关系，即粘性应力与形变率成正比，与压力无关牛顿粘性定律但只适用于直线运动。

19牛顿粘性定律（2.35）称为（动力学）粘性系数或内摩擦系数2、广义牛顿粘性假设牛顿粘性定律给出了粘性应力

与形变率的线性关系，但只适用于直线运动。

但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动，称为广义牛顿粘性假设，即：（2.36）式中的就是前面讲到的应力张量（2.28），是第一章讲到的形变率（P21，1.38式）是三个法向应力的平均值。

是前面讲的单位张量。

202、广义牛顿粘性假设牛顿粘性定律给出了粘性应力与形变率的线3.应力张量和形变速度张量（形变率张量）之间的关系

广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量之间的关系，写成分量形式：其中：。。。。。其中由于单位张量中的非对角元素为零，则（2---3）还可以写成：（2---3）213.应力张量和形变速度张量（形变率张量）之间的关系可见前面的牛顿粘性定律是（2---3）的一个特例。

（2---3）还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关的部分，即：22可见前面的牛顿粘性定律是（2---3）的一个特例。（流体单位面积受到的总的表面力）=（与粘性无关的部分，即流体的压力）+（与粘性有关的部分，即流体的粘性应力）上式右边的第二部分可以定义为：称为粘性应力张量。

23（流体单位面积受到的总的表面力）=上式右边的第二部分可以定义称为粘性应力张量。

对于理想流体（不考虑粘性的流体），=0，流体质点间只有压力的相互作用。24称为粘性应力张量。对于理想流体（不考虑粘性的流体），=0，4、牛顿流体