201-6.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示（十年高考）

2024版新高考新教材版高考总复习数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点1平面向量的概念及线性运算1.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()A.-2B.-1C.0D.1答案B由题知a+b所以|a|2-|b|2=4-5=-1.2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.5答案D由题意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=42+(−3)2=53.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n答案B由题意可知,DA=CA−CD=m-n,又BD=2DA,所以BD=2DA=2(m-n),所以CB=CD+DB=n-2(m-4.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.ADC.AD=43AB+13ACD.AD答案AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB5.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BC答案A设AB=a,AC=b,则EB=-12b+a,FC=-12a+b,从而EB+FC=−12b+a+−12a+6.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

答案1解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于λ1=12,即λ=7.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=,y=.

答案12;-解析由AM=2MC知M为AC上靠近C的三等分点,由BN=NC知N为BC的中点,作出草图如下:则有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23·AC=1又因为MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-18.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为答案1解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC∵DE=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=考点2平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A根据题意得AB=(3,1),∴BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案Bb-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B设a=k1e1+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴k2=3,B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴−k1故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=.

答案8解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1”解题.解析由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=85解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.

答案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.

答案-6解析因为a∥b,所以m3=4−2易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=答案1解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=1第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示五年高考考点1平面向量的概念及线性运算1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则CB=()A.2CDC.2CD答案A2.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案A3.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n答案B4.(2012大纲全国,6,5分,易)△ABC中,AB边的高为CD.若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD=()A.13a-13bB.23a-C.35a-35bD.45a答案D5.(2015陕西,7,5分,中)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B考点2平面向量基本定理及坐标运算1.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B2.(2018课标Ⅲ文,13,5分,易)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

答案1三年模拟一、单项选择题1.(2023广东茂名一模,易)在△ABC中,AB=c,AC=b,若点M满足MC=2BM,则A.13b+23cB.23bC.53c-23bD.23b答案A2.(2022山东潍坊三模,易)已知a,b是平面内两个不共线的向量,AB=a+λb,AC=μa+b,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是()A.λ-μ=1B.λ+μ=2C.λμ=1D.λμ答案C3.(2023湖南师大附中二模,4,易)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得BM=λA.2B.-2C.1答案D4.(2023湖北武汉四调,4,易)正六边形ABCDEF中,用AC和AE表示A.-2C.-2答案B(2023福建漳州二模,易)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC、CD的中点,若AG=A.1答案C6.(2023齐鲁名校大联考,易)已知等边三角形ABC的边长为1,动点P满足|AP|=1.若AP=λAB+μACA.-3B.−答案B7.(2023河北石家庄一模,5,易)△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于点D,且AD=A.2答案A8.学科融合(2023江苏南京师大附中一模,4,中)图1是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算,侧视图与实物有区别).在侧视图中,斜拉杆PA,PB,PC,PD的一端P在垂直于水平桥面的塔柱上,另一端A,B,C,D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知AB=8m,BO=16m,PO=12m,PB·PC=0.根据物理学知识得图1图2A.28mB.20mC.31mD.22m答案D9.(2023湖北十一校第一次联考,6,中)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记AB=a,AD=b,则AG=()A.311a+411bB.611aC.411a+511bD.311a答案D10.(2023安徽淮南一模,5,中)在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB中点,AE=12EC,若A.内心B.外心C.重心D.垂心答案A11.(2023广东深圳二模,5,中)已知△OAB中,OC=CA,OD=2DBA.1C.1答案D12.(2023河南中原名校3月质检,9,中)在△ABC中,点D,E满足BD=DC,A.2答案C二、多项选择题13.(2022广东韶关一模,易)已知向量a=(1,k),b=(2-k,-3),则下列说法正确的是()A.若k≠3,则向量a,b可以