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文档简介

精品文档-下载后可编辑通过问题串发挥教师的引导作用课的设计与思考

一、教学内容的分析

1.教材的地位和作用

从对数函数知识本身来讲,对数函数是函数中一类重要的基本初等函数,前面学习了指数与对数,又学习了指数函数,对数函数是在指数、对数与指数函数的基础上引入的,是对上述知识的拓展和延伸,对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。

从函数角度来讲,在初中,学生学习了初步的函数知识,掌握了一些简单函数的表示法、图象、性质,到高中后,开始系统地学习函数的性质,从图象、性质、应用等方面较全面地研究了指数函数,学生对新函数的分析、研究已不再陌生。通过对数函数的学习,学生对函数这一重要数学思想有进一步的认识与理解,对函数的概念、图象、性质的探讨进一步完善,对函数知识体系的学习更加完整、系统。

2.教学重点和难点

对于对数函数,学生在认知理解上存在的主要困难是对数函数性质的归纳与整理,虽然之前已经学习过指数函数,但要熟练地总结归纳出对数函数的性质特征,需要从形式上和指数函数进行类比;其次,由于指数与对数之间存在的联系,指数函数与对数函数之间也必然存在着相关性,它们在图象和性质上究竟有怎样的关系,学生对规律的发现以及代数论证存在一定的障碍。

根据以上的分析,本节课的重、难点确定为:

(1)重点:对数函数的概念、图象和性质;

(2)难点:对数函数的图象和性质,对数函数与指数函数的关系。

二、教学目标的确定

1.知识与技能:理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性质,了解对数函数与指数函数之间的联系。

2.过程与方法:从函数概念的角度及指数函数的形式引入对数函数的概念,通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,形成对数函数的概念;画出对数函数的图象,根据函数y=logax图象的特征,对照指数函数的研究方式,从特殊到一般,归纳、总结其性质;从图象和代数两种形式,找出指数函数与对数函数之间的联系。

3.情感态度价值观:培养数形结合的意识,提高学生的识图能力;学会用联系、类比的观点分析问题。

三、教学方法的选择

由于学生已经系统学习过指数函数,掌握了指数函数的图象和性质,知道了指数函数的研究方式,本节课研究对数函数,主要采用探索发现法、小组讨论法、练结法等教学方法。

(1)从指数函数的形式出发,从函数概念的角度,引入对数函数。通过学生活动,从实际问题出发,发现指数函数与对数函数之间的联系,由指数式、对数式之间的关系,通过问题串的方式引导学生说出对数函数的定义域和值域;

(2)在研究其图象时,通过作出几个具体对数函数的图象,充分挖掘指数函数与对数函数之间的联系,发现二者图象关于直线y=x对称;

(3)在研究其性质时,主要采用小组讨论法,学生协作学习,运用类比的思想,类比指数函数的研究方式,对照指数函数的图象和性质,总结归纳出对数函数的性质。

在学法上,提倡以学生为主体,教师为主导的课堂教学模式,教师通过问题的引导,启发学生思考、分析、实践、探索、归纳、总结,让学生积极主动参与学习过程,充分展现他们的发现与创造性思维。

四、教学过程的设计

本节课以建构主义为理论依据,设计教学过程总体框架为:情景再现――提出问题――动手实践――协作探索――类比总结――解决问题――巩固应用。在整个教学流程中,通过一系列的问题串发挥教师的引导作用,学生在解决问题的过程中自主发现、探索、提炼、总结。教学流程图如下:

课例呈现

1.引入:

前面我们学习了指数、对数以及指数函数,请你写出一个指数函数的例子。

生:y=2x.

2x是一个指数式,称y=2x为指数函数.log2y是一个对数式,试问x=log2y是否也是一个函数?为什么?

生:是.因为它符合函数的定义,当y>0时,任意给定一个y的值都有惟一的x值与之对应.

我们已经知道指数与对数之间的关系,那么函数y=2x与x=log2y之间有什么关系?你能用一个实例来说明二者之间的联系吗?

学生活动。

细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……,1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,即y=2x,x∈N*.函数x=log2y则是知道细胞分裂后的个数y,求细胞分裂的次数x的过程,二者之间是反过来的.

(意图:函数的概念是学习函数的最根本的问题,学生熟悉指数与对数,此处开门见山地从函数的角度,从指数函数的形式直接引入对数函数,然后让学生以一个非常熟悉的实际问题为背景,直观了解指数函数、对数函数模型所刻画的数量关系,并且鲜明地刻画出两个函数之间的联系。)

下面通过复习指数函数的图象和性质,为学生通过类比的方法研究对数函数的图象和性质做铺垫。

回顾指数函数的图象与性质:

2.概念的形成与辨析

对数函数的概念:一般地,函数y=logax(a>0且a≠1),x∈(0,+∞)叫做对数函数。

问题1:结合指数与对数之间的关系,试说出对数函数y=logax(a>0且a≠1)的定义域与值域。

生:定义域为(0,+∞),值域为R.

问题2:试比较指数函数y=ax与对数函数y=logax的定义域和值域,它们之间有什么关系?

生:指数函数的定义域和值域,分别是对数函数的值域与定义域。

(意图:同指数函数的概念一样,对数函数也是一个形式上的概念。通过两个问题成功地建立了指数函数与对数函数的一般联系,为学生能够发现两者图象之间的关系提供思考的途径。)

例1求下列函数的定义域:

(1)y=log0.2(4-x);

(2)y=loga(■)(a>0且a≠1);

解:(1)由4-x>0,得x<4,故函数的定义域是(-∞,4);

(2)由■>0,得x>1,故函数的定义域是(1,+∞);

(意图:概念形成之后,需要对其进行概念的辨析,进一步强化对数函数的定义域。)

3.对数函数性质的形成

分别在同一坐标系下画出以下两组函数的图象。

(1)y=2x,y=log2x;

(2)y=(■)x,y=log■x。

问题3:观察各组函数的图象,它们之间有着怎样的关系?

生:关于直线y=x对称。

思考:一般地,当a>0且a≠1时,函数y=ax与y=logax是否有上述关系?

生:有。

(意图:有了对数函数的概念之后,学生就自然想到要研究函数的图象,对数函数的图象是什么样子?通过描点、作图画出两组图象,让学生动手作图、对比图象,发现规律。从特殊到一般,总结出指数函数与对数函数图象之间的关系,并以此来验证二者在定义域和值域上的关系。至于y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称的代数证明可以在课后进行探究。有了这条性质,即请学生快速地在同一坐标系内画出y=log2x,y=log■x,y=log3x,y=log■x的图象,并通过小组协作讨论,归纳总结出对数函数的性质。)

观察下列函数的图象(用Excel或几何画板给出):y=log2x,y=log■x,y=log3x,y=log■x

问题4:结合指数函数,你能总结、归纳出对数函数具有哪些性质吗?

(意图:上述性质学生通过类比指数函数不难得到。主要从五个方面进行考虑:定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊性质。这里需向学生说明一点,这些关于性质的结论都是从特殊的函数归纳得到的,即运用由特殊到一般的总结方法,那么对一般的情况(即底数a取不同值)上述性质是否存在?借助几何画板,作出动态的对数函数的图象,让学生观察、发现、交流,回答问题5和问题6。)

问题5:对数函数的图象与y轴有交点吗?它们有着怎样的特殊关系?

生:没有交点,y轴是对数函数的渐近线。

问题6:随着底数a的变化,对数函数的图象呈现怎样的变化规律?

生:在第一象限按顺时针方向,底数依次增大。

例2利用对数函数的性质,比较下列各组数的大小:

(1)log23.4log23.8;(2)log0.51.8log0.52.1;

(3)log25log35;(4)log76,log58,log0.73.

解:(1)因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,由于3.4<3.8,所以log23.4<log23.8;

(2)因为y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减,由于1.8<2.1,所以log0.51.8>log0.52.1;

(3)考察y=log2x与y=log3x的图象,易知log25>log35;

(4)log0.73<0<log76<1<log58.

问题7:如何比较两个对数的大小关系?

(1)同底对数考察函数的单调性;

变式(选):比较大小loga5.4____loga3.2.

解答:考察函数y=logax,

①当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)为单调增函数,由于5.4>3.2,所以loga5.4>loga3.2;

②当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)为单调减函数,由于5.4>3.2,所以loga5.4<loga3.2;

(2)同真数对数考虑对应函数的变化规律;

(3)真数与底数均不同时,先考虑与0、1等特殊数的大小关系。

(意图:设置“例2”是为进一步熟悉、理解对数函数的性质,并运用性质处理一些实际问题。(1)和(2)是同底对数式,考虑同底对数函数的单调性,补例需要考虑a的范围,涉及分类讨论的思想;(3)是同真数的对数式比较大小,可以运用对数函数的变化规律解题,还可以运用换底公式;(4)中真数与底数均不相同时,应考虑选取中间值来进行比较。)

4.小结:

问题1:对数函数的概念是如何形成的?问题2:简述对数函数的性质;问题3:对数函数的性质又是怎样得到的?它体现了怎样的思想方法?

(意图:以问题的方式请学生进行课堂学习内容的小结,让学生再次回归知识的生成过程,体会数形结合、类比、由特殊到一般、分类讨论等数学思想方法在解决问题的过程中的应用,培养学生的概括能力和回归本质的意识。)

思考:通过对本节课的学习,你有什么方法能快速判断对数式logab的符号?

生:当a,b同属于区间(0,1)或(1,+∞)时,logab>0,反之则为负。

(意图:通过思考题让学生从函数值的正、负角度观察对数函数的图象,

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