第22章 二次函数单元测试题（含解析）

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第22章二次函数单元同步检测卷

一、选择题（共36分）

1．下列函数中，是二次函数的是（）

A．B．C．D．

2．抛物线的顶点坐标是（）

A．B．C．D．

3．下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（）

A．B．C．D．

4．已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（）

A．最小值－3B．最大值－3C．最小值2D．最大值2

5．抛物线①y=2x2；②y=2（x+1）2﹣5；③y=3（x+1）2；④y=（x+1）2﹣5．其中，形状相同的是（）

A．①②B．②③④C．②④D．①④

6．平行于x轴的直线与抛物线的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点坐标为（）

A．（1，2）B．（1，-2）C．（5，2）D．（-1，4）

7．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（）

A．B．

C．D．

8．若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（）

A．B．C．D．不能确定

9．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（）

A．B．

C．D．

10．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（）

A．B．

C．D．

11．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

12．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是()

A．B．C．D．

二、填空题（共21分）

13．请任意写出一个图象开口向下且顶点坐标为（﹣2，1）的二次函数解析式：．

14．将二次函数化成的形式为．

15．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是．

16．若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为．

17．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为.

18．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+a2﹣8a+3，当﹣1≤x≤2时，有最大值5，则a的值是．

19．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③，其中正确的结论有．（填序号）

三、解答题（共43分）

20．（5分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．

21．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；

（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

22．（7分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y＝﹣2x+200．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件．

（1）写出每天的销售利润w（元）与销售价格x（元）的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元？

23．（8分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为S．

（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

（2）要围成面积为45的花圃，AB的长是多少米？

（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？（结果保留两位小数）

24．（8分）如图，抛物线经过点，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找出点P，使得以M，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．

25．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（－1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.

（3）若抛物线在第一象限的图象上有一点P，求△ACP面积S的最大值．

参考答案

1．A

【分析】根据二次函数的定义：形如(a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可．

【详解】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；

B、是一次函数，不符合题意；

C、是反比例函数，不符合题意；

D、不是二次函数，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．

2．A

【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．

【详解】解：抛物线的顶点坐标是，

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

3．B

【分析】根据形如二次函数的函数图像及性质解答即可．

【详解】解：∵的对称轴为y轴，

∴的对称轴为y轴，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如二次函数的函数图像及性质是解题的关键．

4．D

【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为，可直接做出判断．

【详解】∵抛物线开口向下，其顶点坐标为，

∴该抛物线有最大值2，

故选：D．

【点睛】本题考查了求二次函数最大值的方法，解答本题的关键是熟练掌握求二次函数最大值的3种方法，分别为：第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

5．A

【分析】根据题意，可以二次函数中的二次项系数相同，则形状相同，从而可以解答本题．

【详解】解：∵y=2x2的二次项系数是2，y=2（x+1）2﹣5的二次项系数是2，y=3

（x+1）2的二次项系数是3，y=（x+1）2﹣5的二次项系数是1，

∴y=2x2与y=2（x+1）2﹣5的形状相同，故选A．

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

6．C

【分析】先把点（-1，2）代入抛物线求出a的值，再令y=2求出x的值即可．

【详解】解：把点(1，2)代入抛物线，

解得a=，

∴抛物线解析式为，

令y＝2，

则，

解得，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5，2)．

故选C．

7．D

【分析】由抛物线满足②a-b+c＜0，③b＜c，可得出a＜0，只能在C、D中选择，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】∵a-b+c＜0，b＜c

∴a＜b-c＜0

抛物线开口向下，故A、B不符合题意

C.∵对称轴直线x＝﹣>0，a-4,

所以，y1>y2

故选C

【点睛】理解二次函数的基本性质.

9．D

【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．

【详解】解：解方程组：，得：或，

故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．

在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；

在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；

在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；

在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．

故选D．

【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．

10．C

【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．

【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：

现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，

则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），

故选：C．

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．

11．C

【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．

解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，

∴该二次函数的开口方向是向上；

又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），

∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，

而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，

∴x≤1，

∴m≥1．

故选C．

12．A

【分析】设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图像经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．

【详解】∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图像过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．

∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．

∴，∴．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．

13．y=﹣（x+2）2+1（答案不唯一）

【分析】写出一个抛物线开口向下，经过已知点坐标即可．

【详解】设抛物线解析式为y=（x+2）2+1，

故答案为y=（x+2）2+1（答案不唯一）

【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式.

14．

【分析】利用配方法整理即可得解．

【详解】解：，

所以．

故答案为．

【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：为常数)；

(2)顶点式：；

(3)交点式(与轴)：．

15．y＝2（x+3）2+1

【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．

【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．

故答案为y＝2（x+3）2+1

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

16．-2或-1或0或1

【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．

【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，

①当函数为一次函数时，则m+1=0即m=-1，

此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点；

②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：

当抛物线经过原点时，y==0，即m=0，

此时=x(x-2)，

则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；

当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，

解得：m=-2或1．

综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，

故答案为：-2或-1或0或1．

【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．

17．x1＝﹣3，x2＝1

【分析】关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到答案．

【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=﹣3，x2=1．

故答案为x1=﹣3，x2=1．

【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．

18．或2．

【分析】分类讨论：a＜0，a＞0，根据函数的增减性，可得答案．

【详解】当a＜0，x＝2时，y最大值＝4a﹣12a+a2﹣8a+3＝5，

解得：a1＝8+（不合题意舍去），a2＝8﹣（不合题意舍去），

当a＞0，x＝﹣1时，y最大值＝a+6a+a2﹣8a+3＝5，

解得：a＝2或a＝﹣1（舍去）．

综上所述，a的值是2．

故答案是：或2．

【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．

19．①②

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可．

【详解】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0，故③错误；

综上所述，结论正确的是①②．

故答案为：①②．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

20．

【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．

【详解】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，

∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．

【点睛】考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便．

21．（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；

（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．

【分析】（1）令y=0，可求出x的值，即为与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标

（2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，再根据图像信息即可得出x的取值范围.

【详解】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，

所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；

因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，

所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；

（2）函数图象如图：

由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键.

22．（1）w＝﹣2x2+300x﹣10000；（2）每件小电器的销售价格定为80元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元．

【分析】（1）直接利用销量×每件的利润＝总利润进而得出函数关系式；

（2）利用总利润＝1200，进而解方程得出答案．

【详解】（1）由题意可得：w＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000；

（2）由题意可得：1200＝﹣2x2+300x﹣10000，

解得：x1＝70（不合题意舍去），

x2＝80，

答：每件小电器的销售价格定为80元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

23．（1）S=，≤x＜8；（2）AB=5米；（3）46.67．

【分析】（1）用含x的代数式表示BC的长，后根据长方形的面积公式计算即可，确定x的范围时从BC大于0且BC≤10，两个角度确定；

（2）转化成x的一元二次方程求解，注意根的大小必须满足（1）的取值范围；

（3）配成顶点式，根据x的范围，函数的增减性计算即可．

【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是矩形，四边形EFCD是矩形，

∴AB=CD=EF=x，

∴BC=24-3x，

∴S=AB×BC=x（24-3x）=，

∵24-3x＞0，24-3x≤10，

∴≤x＜8，

∴S=，≤x＜8；

（2）根据题意，得=45，

解得，

∵≤x＜8，

∴舍去，

∴AB=5（米）；

（3）∵S=

=，

∴对称轴为直线x=4，

∵≤x＜8，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，

∴当x=时，S有最大值，

∴S=≈46.67．

即当AB=米时，S的最大值为46.67．

【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，抛物线的对称轴，增减性，熟练掌握抛物线的增减性是解题的关键．

24．（1）y=x2-x-2；（2）点P坐标为或或．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；

（2）分3种情况：①如图1中，当四边形PCBM是平行四边形时；②如图2中，当四边形PMCB是平行四边形时；③当BC为对角线时．利用平移变换以及平行四边形的性质解决问题即可．

【详解】解：（1）把代入抛物线中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（2）∵y=x2-x-2＝(x-)2-，

∴对称轴是直线x=.

①如图1，当四边形是平行四边形时，，且，

∵点B向右平移个单位到点M横坐标位置，

∴由点C向右平移个单位到点P横坐标位置，

∵点,

∴，

当时，，

∴；

②如图2中，当四边形是平行四边形时，

∵点C向左平移2个单位到B横坐标，

∴点M向左平移2个单位到点P横坐标，

∴点P的横坐标为．

当