6热点题型五函数的零点与方程根的问题《奇招制胜》数学（理）热点+题型全突破

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精热点题型五函数的零点与方程根的问题【考点剖析】函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题,又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．【知识梳理】1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且,那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.(1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2)零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）①若，则的零点不一定只有一个,可以有多个②若,那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为,则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为,即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。考点一函数零点的判断【典例1】【2015高考安徽,理2】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（）A。B。C。D.【答案】A【解析】由选项可知,项均不是偶函数,故排除，项是偶函数,但项与轴没有交点,即项的函数不存在零点,故选A。【考点定位】1。函数的奇偶性;2。函数零点的概念。【思路点拨】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉;另外,函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.【典例2】【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为【答案】4【考点定位】函数与方程【思路点拨】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.【方法总结】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点:令f（x）＝0，如果能求出解,则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b）<0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3）利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考点二由函数的零点（或方程的根)求参数【典例3】【2016高考山东理数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示:由图所示，要有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得考点:1。函数的图象与性质；2。函数与方程；3.分段函数【思路点拨】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念。解答本题,关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析,转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.【典例4】【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a〉0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A。（0，]B.[，]C。［，]{}D.[，）{}【答案】C【考点定位】函数性质综合应用【思路点拨】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【方法总结】已知函数有零点(方程有根）求参数取值范围常用的方法(1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围．(2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【跟踪训练】1.已知函数,则函数在区间上的零点个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】令,得或，由及，得，，故方程有个解；故函数函数在区间上有个零点，故选C．2.已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，,则函数在内所有的零点之和为(）A．6B．8C．10D．12【答案】D【解析】因为函数在内所有的零点之和，就是在内所有的根之和，也就是交点横坐标之和,画出函数图象，如图,由图知，所以，,故选D.3.【2015高考天津，理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是(）（A）（B）（C）(D)【答案】D【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【思路点拨】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力。将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起,利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法,考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.4。已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是(）A.B。C。D。【答案】【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介