第2章+一元二次函数、方程和不等式知识点清单 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2/2新教材湘教版2019版数学必修第一册第2章知识点清单目录第2章一元二次函数、方程和不等式2.1相等关系与不等关系2.1.1等式与不等式2.1.2基本不等式2.1.3基本不等式的应用2.2从函数观点看一元二次方程2.3一元二次不等式2/2第2章一元二次函数、方程和不等式2.1相等关系与不等关系2.1.1等式与不等式一、不等式的性质及其推论1.不等式的性质性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.性质3：如果a>b，那么a+c>b+c.性质4：如果a>b，c>0，那么ac>bc.如果a>b，c<0，那么ac<bc.性质5：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N性质6：如果a>b，且ab>0，那么1a<1b.如果a>b，且ab<0，那么1a>2.不等式性质的推论推论1：如果a+b>c，那么a>c-b.推论2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N+).（1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件.（2）要注意各性质和推论是否具有可逆性.二、比较实数(代数式)的大小 1.作差比较法(1)依据：a-b>0⇔a>b；a-b<0⇔a<b；a-b=0⇔a=b.(2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式.(3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论.(4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2.作商比较法(1)依据：a>0，b>0且ab>1⇒a>b；a>0，b>0且ab<1(2)应用范围：同号两数比较大小.(3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1.解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式

的性质进行运算，求得待求式的范围.2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2.1.2基本不等式2.1.3基本不等式的应用一、基本不等式不等式变形等号成立的条件注意a2+b2≥2abab≤a2+b2当且仅当a=b时等号成立a，b∈Ra+b2≥a+b≥2aba≥0，b≥0一般地，对于正数a，b，我们把a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b二、基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2p；(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值s2上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事项 1.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.(1)“一正”：各项必须都是正值.例如：代数式x+1x，当x<0时，绝不能认为x+1x≥2，即x+1x的最小值为2.事实上，当x<0时，x+1x=-(−x)+1−x(2)“二定”：各项之和或各项之积为定值.例如：已知0<x<52，求(5-2x)x的最大值，需变形为(5-2x)·2x·12，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0.当2x=5-2x，即x=54时，[(5-2x)x]max(3)“三相等”：必须验证等号是否成立.特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致.四、利用基本不等式求最值 1.利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下：(1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(4)换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a，b，x，y均为正数)，求1x+1y的最小值”和“已知ax+by2.2从函数观点看一元二次方程2.3一元二次不等式一、二次函数的零点1.一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤：(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集.对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.三、三个“二次”之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其中a，b，c为常数，a>0)：Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-b没有实根一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}x|x∈R且x≠−bR一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀四、一元二次不等式的应用1.利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤(1)理解题意，分清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，结合实际检验，得到实际问题的解.五、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论1.解含参数的一元二次不等式时，为了做到分类不重不漏，讨论一般需从如下几个方面考虑：(1)关于二次项系数符号的讨论：分a>0，a<0.(注意，在未说明不等式为一元二次不

等式的情况下，还要考虑a=0的情况)(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论：分两根(Δ>0)，一根(Δ=0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应方程的根x1，x2的大小的讨论：分x1>x2，x1=x2，x1<x2.六、简单的分式不等式的解法 1.解分式不等式的思路：先转化为整式不等式，再求解.2.化分式不等式为“标准形式”的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)式(f(x)，g(x)为关于x的整式).(1)形如f(x)g(x)>a(a≠0)的分式不等式可同解变形为f(x)−ag(x)g(x)[f(x)-ag(x)]>0.(2)解f(x)g(x)≥0(≤母不能取0.七、一元二次不等式恒成立问题 1.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c>0；当a≠0时，a>0，且Δ<0.2.不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=