2020年江西省九江市高三一模数学试题

数学试题考试时间120分钟总分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1.已知集合A=L1,1,2｝,B=^x1x+1n则AcB=()A.{-1,1,2}b.£,2}C.11,2}d.fe}2•若复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位)，则复数z虚部为()A.iB.—iC.1A.iB.—iC.13.等差数列｛a｝中,na+a=8，贝ya+a+a=(35147A.8B.12C.16D.-1)D.20—兀4-在平面直角坐标系中，P(3,一4)为角a的终边上一点，则si吨+才)=(A.1010D.X2y215已知椭圆c:-+辛=1(a>b>0A.1010D.X2y215已知椭圆c:-+辛=1(a>b>0)的离心率为2'且椭圆C的长轴长与焦距之和为6,则椭圆c的标准方程为(A.竺+兰=1B.2566.若平面向量a在b方向上的投影为2，且b=(-1,3)，则a-b=B.10X2+cosx7•函数f(x)=的图象大致为(A.D.20ub.-rc.)8.已知a=loge,b=(J6)-2,c=丄，则a,b,c的大小关系为(兀ln2A.c>b>ab.c>a>bc.a>b>cd.a>c>bi的值分别为6,8,0，则输出i的值分别为6,8,0，则输出a和i的值B.D.B.D.C.10.偶函数f(x)二x(ex—ae-x)的图象在x=1处的切线斜率为()A.2e1A.2e1D.e+-eB.eC.-e11.已知椭圆邑+丘=1(a〉b〉0)的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是a2b2TOC\o"1-5"\h\zF,F，在线段AB上有且只有一个点P满足PF丄PF，则椭圆的离心率为()1212A•竺B•虽1C•竺22312.已知定义在R上的函数y二f(x)对于任意的x都满足f(x+1)=_f(x)，当—1<x<1时，f(x)二x3，若函数g(x)二f(x)—logIxI至少有6个零点，则a的取值范围是a()TOC\o"1-5"\h\z11111A.(0,三2(5,+^)B.(0,-)55,+QC.(-,-]u(5,7)D.(-,-)55,7)557575二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000人、1050人、1200人，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出名学生.在区间b,3〕上随机取两个数a、b，则其中使函数f(x)二-bx+a+1在(0,1]内有零点的概率是.设数列｝满足a+a=10，点P(n,a)对任意的neN，都有向量PP二(1,2)，n24nn+nn+1则数列｛a｝的前n项和S=.nn已知长方体ABCD—ABCD各个顶点都在球面上，AB=AD=8,AA=6,过棱iiiiiab作该球的截面，贝y当截面面积最小时，球心到截面的距离为.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，函数f(x)=2cosxsin(x—A)+sinA(xeR)在x=处取得最小值.12(1)求角A的大小.

13,;3（2）若a=7且sinB+sinC='，求AABC的面积.1418、（本小题满分12分）为了研究数学、物理成绩的关联性，某位老师从一次考试中随机抽取30名学生，将数学、物理成绩进行统计，所得数据如下表，其中数学成绩在120分以上（含120分）为优秀，物理成绩在80分以上（含80分）为优秀。编号物理成绩yi编号物理成绩yi编号2.物理成绩yi数学成绩xi数学成绩xi数学成绩xi11088211124802112264211276121368622136823130781312783231148441329114807324121805108681513881258852614088161419126142837143921710985271256989972181008028135909106841992732911282101207720132823012892（1）根据表格完成下面2x2的列联表:数学成绩不优秀数学成绩优秀合计物理成绩不优秀物理成绩优秀合计并判断有多少把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联？（2）若这一次考试物理成绩y关于数学成绩x的回归方程为y=bx+a，由图中数据计算成x=120,y=80，工(x-x)(y-y)=2736,工(x-x)=8480，据此估计，数学成绩iiii=1i=1n(ad-bcn(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.150.100.0500.010k2.0722.7063.8416.635附1】独立性检验:【附2】若(x,y),(x,y),•••,(x,y)为样本点，y=bx+a为回归直线,1122nn工(x-x)(y-y)ii贝yb=,a=y-bx工(x-x)ii=119.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=4,E,F分别为AB,AD的中点，现将AADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE.求证：EF//平面ABC；若平面ADE丄平面BCDE，求四面体FACE的体积.x2y2p'320.(本小题满分12分)已知椭圆C:+[=1(a>b>0)的离心率为e=，其左a2b22右焦点分别为F、F，|FF1=2心3，设点M(x,y)、N(x,y)是椭圆上不同两点，12121122且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为-1.4⑴求椭圆C的方程；⑵求证：x2+x2为定值，并求该定值.12(本小题满分12分)已知函数f(x)=xlnx,f'(x)为f(x)的导函数.⑴令g(x)=广(x)—ax2,，试讨论函数g(x)的单调区间；(2)证明：f(x)<2ex-2.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.「x=1+cosa(本小题满分10分)直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为彳a为1[y=sinax2参数)，曲线C:可+y2=1.3在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C,C的极坐标方程；12兀射线0—-(P>0)与C异于极点的交点为A，与C的交点为B，求IABI.312(本小题满分10分)已知函数''■■:...(「匚■).(1)当J1时，求if[的解集；1-(2)若-啲解集包含集合和，求实数赳的取值范围.19.19.参考答案1-12ACBBCCCBDADA2°13.114.15.n216.5917.解：由已知得f(x)二sin(2x-A)；3分•••/(曲=罟处取得最小值・2弋-A=2心乎,其中keZ,即A=中+2册,keZ兀*•*Ae(0,兀)，・，・A=—3(2)由正弦定理_纟得sinB+sinC=^+CsinAsinAsinBsinCa即3=竿壬b+C=13由余弦定理a2=b2+c2-2bcC0SA得14a2=(b+c)2-2bc—2bccosA,即49=169-3bc,bc=40・m2bcsinA=2x40寻=加10分12分18.解：(1)2丈列联表数学成绩不优秀数学成绩优秀合计物理成绩不优秀6410物理成绩优秀61420合计121830•••K2=饗X=2-而P(K2>2.072)=0.15.・•・有85%把握数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联。……6分(2)根据所给公式可求：b沁0.32,a=41.6.8分・y关于x的回归方程为y=0.32x+41.610分据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高3.2分。12分解:⑴取线段AC的中点M，连接MF,MB,因为F为AD的中点，所以MF//CD，且MF=B在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点,TOC\o"1-5"\h\z所以BE//CD，且BE二-CD2分2所以MF//BE，且MF二BE,3分所以四边形BEFM为平行四边形，故EF//BM,4分又EF匸平面ABC,BMu平面ABC，所以EF//平面ABC.…………………5分⑵在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2,AB=4,E为AB的中点,所以AADE,ACBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2，所以ZDEA=ZCEB=45°，且DE=EC=2迈.7分又ZDEA+上DEC+ZCEB=180°,/.ZDEC=90°7分又平面ADE丄平面BCDE，平面ADE门平面BCDE=DE,CEu平面BCDE，所以CE丄平面ADE，即CE为三棱锥C-EFD的高.因为所以CE丄平面ADE，即CE为三棱锥C-EFD的高.因为F为AD的中点，所以S=x-AAEF2xADxAE=1,29分10分所以四面体FACE的体积V=3xSaaefxCE=3x1x2迈=2v212分20.解：(1)c=v'3，e二耳，.・.a=2，b2=a2-c2=12x2则椭圆C的方程为才+y2=14分⑵由于x-^2=-—，则xx=-4yy，x2x2=16y2y2126分xx12x2而才x2而才+y12=i,X2+y2=1,42x2则1-方=,(1一=y12(1一=y12y22则(4-x2)(4-x2)=16y2y212129分TOC\o"1-5"\h\z(4-x2)(4-x2)=x2x2，展开得x2+x2=4为一定值12分12121221.【解析】(1)g(x)=广(x)-ax2=1+lnx-ax2,g'XX11-2ax2g(x)=-2ax=(x>0)1分xx

当a<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)的单调增区间为当a<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)的单调增区间为(0,+a),无单调减区间;2分当a>0时，g'(x)=0得x=空£,2a当xG0,,g'(x)>0；所以g\/2a,2a3分'(x)<0,6分lnx2ex-2<xx22)即证：2ex-2lnx<，即证:x令h(x)=x2=?•竺(x>0),h'(x)=A.ex•x2-ex•2x=2•ex(x-2),e2x2e2x4e2x3x47分当0<x<2时，h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>2时，h'(x)>0,h(x)单调递增;所以h(x)的最小值为h2令k(x)=所以h(x)的最小值为h2令k(x)=乜，则k'(x)二x8分x2当0<x<e时，k'(x)>0,k(x)单调递增;9分当x>e时，k'(x)<0,k(x)单调递减;所以k(x)的最大值为ke10分因为丄<2,e211分所以k(x)<h(x)，即lnx<2ex2x12分Ix=1+cosa22-解：⑴曲线Ci:[y=sina(为参数)化为普通方程为x2+y2-2x=°，所以曲线C］的极坐标方程为P=2cos0，2分曲线C2的极坐标方程为P2(1+2sin20)=34分TOC\o"1-5"\h\z兀兀(2)射线°二-(P>0)与曲线C1的交点的极径为P］二2cos-二1,6分射线°—(P>0)与曲线C的交点的极径满足P2(1+2sin2)—3,HYPERLINK\l"bookmar