青海省玉树藏族自治州第二民族高级中学2023-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含解析）

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参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）设x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的（）条件．

A．充分但不必要条件B．充要条件

C．必要但不充分条件D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】由x＞1，我们不一定能得出x＞2；x＞2时，必然有x＞1，故可得结论

【解答】解：由x＞1，我们不一定能得出x＞2，比如x＝1.5，所以x＞1不是x＞2的充分条件；

∵x＞2＞1，∴由x＞2，能得出x＞1，∴x＞1是x＞2的必要条件

∴x＞1是x＞2的必要但不充分条件

故选：C．

2．（5分）命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是（）

A．若a＜b，则a﹣8＜b﹣8B．若a﹣8＞b﹣8，则a＞b

C．若a≤b，则a﹣8≤b﹣8D．若a﹣8≤b﹣8，则a≤b

【答案】D

【分析】根据逆否命题的定义确定命题的逆否命题．

【解答】解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是：若a﹣8≤b﹣8，则a≤b．

故选：D．

3．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+＝1的离心率是，则m等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．

【解答】解：由题意，则

，

化简后得m＝1.5，

故选：B．

4．（5分）函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）

A．1B．C．0D．﹣1

【答案】A

【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．

【解答】解：f'（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣2x）（1+2x）

令f'（x）＝0，解得：x＝或（舍去）

当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，

∴当x＝时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）＝1

故选：A．

5．（5分）设f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】先求出导函数，再代值算出a．

【解答】解：f′（x）＝3ax2+6x，

∴f′（﹣1）＝3a﹣6＝4，∴a＝

故选：D．

6．（5分）函数y＝x2cosx的导数为（）

A．y′＝2xcosx﹣x2sinxB．y′＝2xcosx+x2sinx

C．y′＝x2cosx﹣2xsinxD．y′＝xcosx﹣x2sinx

【答案】A

【分析】利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数．

【解答】解：y′＝（x2）′cosx+x2（cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx

故选：A．

7．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【分析】利用抛物线y2＝2px（p＞0）中p的几何意义即可得答案．

【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，

∴2p＝4，p＝2．

由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2．

故选：C．

8．（5分）函数y＝x3+x的递增区间是（）

A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，+∞）D．（1，+∞）

【答案】C

【分析】先求导函数y′，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0的区间就是单调增区间．

【解答】解：y′＝3x2+1＞0

∴函数y＝x3+x的递增区间是（﹣∞，+∞），

故选：C．

9．（5分）下列各组向量平行的是（）

A．＝（1，1，﹣2），＝（﹣3，﹣3，6）

B．＝（0，1，0），＝（1，0，1）

C．＝（0，1，﹣1），＝（0，﹣2，1）

D．＝（1，0，0），＝（0，0，1）

【答案】A

【分析】根据共线向量定理及向量坐标表示判断即可

【解答】解：对A，＝﹣3，∴A正确；

对B、C、D，不存在λ，使＝λ，∴、不共线，B、C、D不正确．

故选：A．

10．（5分）已知，则f′（1）＝（）

A．B．sin1+cos1

C．sin1﹣cos1D．sin1+cos1

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则即可得出．

【解答】解：∵，∴f′（1）＝．

故选：B．

11．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则等于（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【分析】根据两个要求数量积的向量的位置，把这两个向量用以D为起点的向量来表示，整理出含有向量的数量积的表示形式，根据垂直和长度关系得到结果．

【解答】解：∵＝

＝

＝

＝﹣﹣++﹣

∵DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，

∴＝0

故选：A．

12．（5分）设a∈R，函数f（x）＝ex﹣ae﹣x的导函数为f′（x），且f′（x）是奇函数，则a＝（）

A．0B．1C．2D．﹣1

【答案】D

【分析】求导数，由f′（x）是奇函数可得f′（0）＝0，解方程可得a值．

【解答】解：求导数可得f′（x）＝（ex﹣ae﹣x）′＝（ex）′﹣a（e﹣x）′＝ex+ae﹣x，

∵f′（x）是奇函数，

∴f′（0）＝1+a＝0，

解得a＝﹣1

故选：D．

二.填空题（共4题，每小题5分，共20分）

13．（5分）曲线y＝x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线斜率为﹣1．

【答案】见试题解答内容

【分析】求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．

【解答】解：y＝x3﹣4x的导数为：y＝3x2﹣4，

将点（1，﹣3）的坐标代入，即可得斜率为：k＝﹣1．

故答案为：﹣1．

14．（5分）抛物线的方程为x＝2y2，则抛物线的焦点坐标为（，0）．

【答案】见试题解答内容

【分析】将抛物线化成标准方程得y2＝x，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标．

【解答】解：∵抛物线的方程为x＝2y2，

∴化成标准方程，得y2＝x，

由此可得抛物线的2p＝，得＝

∴抛物线的焦点坐标为（，0）

故答案为：（，0）

15．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±x．

【答案】见试题解答内容

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．

【解答】解：∵双曲线方程为﹣＝1的，则渐近线方程为线﹣＝0，即y＝±，

故答案为y＝±．

16．（5分）函数y＝的导数为．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据函数的导数公式进行求导即可．

【解答】解：函数的导数y′＝＝，

故答案为：

三、解答题（共6题，共70分）

17．（10分）写出命题“若+（y+1）2＝0，则x＝2且y＝﹣1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

【答案】见试题解答内容

【分析】将原命题中的条件、结论互换得到逆命题；将原命题的条件、结论同时否定得到否命题、将原命题的条件、结论否定再交换得到逆否命题．

【解答】解：逆命题：若x＝2且y＝﹣1，则；真命题

否命题：若，则x≠2或y≠﹣1；真命题

逆否命题：若x≠2或y≠﹣l，则；真命题

18．（12分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．

（1）求a，b的值；

（2）求函数y的极小值．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求出y′，由x＝1时，函数有极大值3，所以代入y和y′＝0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；

（2）令y′＝0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．

【解答】解：（1）y′＝3ax2+2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a+2b＝0，y|x＝1＝a+b＝3，

即

（2）y＝﹣6x3+9x2，y′＝﹣18x2+18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1

当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．

∴y极小值＝y|x＝0＝0．

19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点．

（1）求AD1与DB所成角的大小；

（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）建立空间直角坐标系D﹣xyz，可求，＝（2，0，﹣2），利用向量的夹角公式即可求解．

（2）求坐标＝（﹣2，2，1）．又1＝（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，即可利用向量的夹角公式求解．

【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2）．

则，＝（2，0，﹣2）．

故：cos（，）＝＝＝．

所以AD1与DB所成角的大小为60°．

（2）易得E（0，2，1），所以＝（﹣2，2，1）．

又1＝（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，且

cos（，）＝＝．

所以AE与平面ABCD所成角的正弦值为．

20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x．

（1）求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值；

（2）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）先求出函数的导数，然后判断在要求区间内导数的正负情况，从而可得出最大值与最小值．

（2）根据导函数的定义可求出切线的斜率，然后根据点P的坐标可求出切线的方程．

【解答】解：（1）f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），

当x∈[﹣3，﹣1）或x∈（1，]时，f′（x）＞0，

∴[﹣3，﹣1]，[1，]为函数f（x）的单调增区间，

当x∈（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间，

又∵f（﹣3）＝﹣18，f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2，f（）＝﹣，

所以当x＝﹣3时，f（x）min＝﹣18，

当x＝﹣1时，f（x）max＝2．

（2）由于点P不在曲线上，故设切点为（x0，y0）则切线方程为：y﹣y0＝3（x02﹣1）（x﹣x0）①，

又点P（2，﹣6）在此切线上，以及y0＝x03﹣3x0代入①，解得：x0＝0或3，

故此直线的斜率为﹣3或24，

故可求得切线的方程为y＝﹣3x或y＝24x﹣54．

21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x2+3．

（1）求曲线y＝f（x）在点x＝2处的切线方程；

（2）若关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；

（2）求得f（x）的导数和单调区间，求得极值，由﹣m介于极小值和极大值之间，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（1）函数f（x）＝2x3﹣3x2+3的导数为f′（x）＝6x2﹣6x，

可得曲线y＝f（x）在点x＝2处的切线斜率

为6×4﹣6×2＝12，切点为（2，7），

则曲线y＝f（x）在点x＝2处的切线方程为y﹣7＝12（x﹣2），

即为12x﹣y﹣17＝0；

（2）由f（x）的导数f′（x）＝6x2﹣6x，

可得0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

x＞1或x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增．

可得f（x）在x＝0处取得极大值，且为3；

在x＝1处取得极小值，且为2．

由关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，

可得2＜﹣m＜3，

解得﹣3＜m＜﹣2．

实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）．

22．（12分）已知函数，g（x）＝x+lnx，其中a＞0．

（1）若x＝1是函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）通过、x＝1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；

（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max＝g（e）＝e+1．

利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．

【解答】解：（1）∵，g（x）＝x+lnx，

∴，其定义域为（0，+∞），

∴．

∵x＝1是函数h（x）的极值点，

∴h′（1）＝0，即3﹣a2＝0．

∵a＞0，∴．

经检验当时，x＝1是函数h（x）的极值点，

∴；

（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于

对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．

当x∈[1，e]时，．

∴函数g（x）＝x+lnx在[1，e]上是增函数．

∴[g（x）]max＝g（e）＝e+1．

∵，且x∈[1，e]，a＞0．

①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，

∴函数在[1，e]上是增函数，

∴．

由1+a2≥e+1，得a≥，

又0＜a＜1，∴a不合题意；

②当1≤a≤e时，

若1≤x＜a，则，

若a＜x≤e，则．

∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．

∴[f（x）]min＝f（a）＝2a．

由2a≥e+1，得a≥，

又1≤a≤e，∴≤a≤e；

③当a＞e且x∈[1，e]时，，

∴函数在[1，e]上是减函数．

∴．

由≥e+1，得a≥，

又a＞e，∴a＞e；

综上所述：a的取值范围为．2023-2022学年高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）设x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的（）条件．

A．充分但不必要条件B．充要条件

C．必要但不充分条件D．既不充分又不必要条件

2．（5分）命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是（）

A．若a＜b，则a﹣8＜b﹣8B．若a﹣8＞b﹣8，则a＞b

C．若a≤b，则a﹣8≤b﹣8D．若a﹣8≤b﹣8，则a≤b

3．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+＝1的离心率是，则m等于（）

A．B．C．D．

4．（5分）函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）

A．1B．C．0D．﹣1

5．（5分）设f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（）

A．B．C．D．

6．（5分）函数y＝x2cosx的导数为（）

A．y′＝2xcosx﹣x2sinxB．y′＝2xcosx+x2sinx

C．y′＝x2cosx﹣2xsinxD．y′＝xcosx﹣x2sinx

7．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是（）

A．4B．3C．2D．1

8．（5分）函数y＝x3+x的递增区间是（）

A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，+∞）D．（1，+∞）

9．（5分）下列各组向量平行的是（）

A．＝（1，1，﹣2），＝（﹣3，﹣3，6）

B．＝（0，1，0），＝（1，0，1）

C．＝（0，1，﹣1），＝（0，﹣2，1）

D．＝（1，0，0），＝（0，0，1）

10．（5分）已知，则f′（1）＝（）

A．B．sin1+cos1

C．sin1﹣cos1D．sin1+cos1

11．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则等于（）

A．0B．1C．2D．3

12．（5分）设a∈R，函数f（x）＝ex﹣ae﹣x的导函数为f′（x），且f′（x）是奇函数，则a＝（）

A．0B．1C．2