《高等数学B》课程教学大纲

高等数学B课程教学大纲（AdvancedMathematics(B)）学时数：128其中：实验学时：0课外学时：0学分数：8适用专业：经济、管理类各专业一、课程的性质、目的和任务本课程是高等院校经济、管理类各专业必修的一门重要的公共基础课，也是学习现代经济理论和管理方法的前提和基础。对培养学生理性思维能力也有重要意义。通过这门课程的学习，使学生获得系统的微积分与常微分方程的基本知识及必要的基础理论和常用的计算方法。培养学生比较熟练的计算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及自学能力。使学生能运用这些方法获得从事现代经济管理和分析解决经济管理问题必须具备的基础知识。并为今后学习‘概率论与数理统计’及后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。二、课程教学的基本要求（一）函数1、掌握函数的概念，会求函数的表达式、定义域.2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3、掌握复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握初等函数的概念.5、会建立简单应用问题中的函数关系式.6、掌握经济学中的常用函数（二）极限与连续1、了解数列极限和函数极限的概念.掌握函数在一点处的左极限与右极限，以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。2、掌握无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较。会用等价无穷小量代换求极限。3、了解极限的性质与极限存在的两个准则.掌握极限的四则运算法则，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。4、掌握函数在一点处连续与间断的概念.会求函数的间断点及确定其类型。5、掌握连续函数的性质和初等函数的连续性.6、掌握闭区间上连续函数的性质及其简单应用.（三）导数与微分1、掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性与连续性之间的关系。2、熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。掌握隐函数求导法与对数求导法。3、了解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。4、了解微分的概念，掌握导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。5、掌握边际与弹性的概念。会求经济函数的边际与弹性。（四）中值定理及导数的应用1、了解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理的条件和结论，掌握这两个定理的简单应用.2、熟练掌握用洛必达（L'Hospital）法则求未定式极限.3、掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握极值、最大值和最小值的求法及其简单应用。4、会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点。5、掌握曲线的水平渐近线与铅直渐近线，会作函数的图形。（五）不定积分1、掌握原函数与不定积分的概念.2、掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.4、掌握简单有理函数不定积分的计算。（六）定积分及其应用1、了解定积分的概念，掌握定积分的基本性质。2、熟练掌握牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法.掌握变上限定积分定义的函数并会求它的导数.3、掌握用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题.4、掌握反常积分的概念及反常积分的计算。（七）向量代数与空间解析几何1、掌握空间直角坐标系，掌握空间两点间的距离。2、了解空间的平面方程、曲面方程的定义。了解柱面及常见的二次曲面。（八）多元函数微分学1、理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域、函数的表达式，了解二元函数的极限与连续性的概念。会求简单二元函数的极限。2、了解多元函数偏导数与全微分的概念,掌握全微分存在的必要条件和充分条件，熟练掌握多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数及函数的全微分。3、掌握二元函数的二阶偏导数的求法。4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件。会求二元函数的极值。会用拉格朗日乘数法求条件极值。5、会用二元函数的极值解决一些简单的经济应用。（九）二重积分1、理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质。2、熟练掌握二重积分在直角坐标、极坐标系下的计算方法。会计算无界区域上的较简单的二重积分.（十）微分方程与差分方程1、掌握微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。2、熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3、会用降阶法解微分方程。4、理解二阶线性微分方程的性质及解的结构定理，掌握二阶常系数线性微分方程求解方法.5、掌握差分与差分方程及其通解与特解等概念.6、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.掌握二阶常系数齐次线性差分方程的求解方法7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题.（十一）无穷级数1、掌握级数的收敛与发散的概念。2、掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件.掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件。3、掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。4、掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及它们之间的关系.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5、掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.6、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。7、掌握特殊函数幂级数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展成幂级数。三、课程的教学内容、重点和难点第一章函数一、函数（一）区间与邻域（二）函数的概念（三）函数的基本性质二、反函数与复合函数初等函数（一）复合函数（二）反函数（三）初等函数三、函数关系的建立四、经济学中的常用函数（一）需求函数（二）供给函数（三）总成本函数、总收益函数、总利润函数（四）库存函数重点：函数的概念及表示法，分段函数的概念；基本初等函数的性质；经济学中的常用函数。难点：函数的概念及表示法，基本初等函数的性质；极限与连续一、数列的极限（一）数列极限的定义（二）收敛数列的性质二、函数极限（一）函数极限的定义（二）函数极限的性质三、无穷小和无穷大（一）无穷小（二）无穷大四、极限的四则运算法则五、极限存在的两个准则，两个重要极限（一）夹逼准则（二）单调有界收敛准则（三）连续复利六、无穷小量阶的比较七、函数连续的概念（一）函数连续的概念（二）函数的间断点（三）初等函数的连续性八、闭区间上连续函数的性质（一）最大值和最小值定理与有界性（二）零点定理与介值定理（三）均衡价格的存在性重点：函数在一点处的左极限与右极限、无穷小量的性质、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数在一点处连续的概念。难点：求函数的极限第三章导数、微分、边际与弹性一、导数（一）导数的定义（二）导数的几何意义（三）函数的可导性与连续性之间的关系二、导数的四则运算与初等函数的求导公式（一）导数的四则运算法则（二）反函数求导法则（三）复合函数求导法则（四）基本求导法则和导数公式三、高阶导数四、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数（一）隐函数的导数（二）参数方程所确定的函数的导数五、函数的微分（一）微分的概念（二）微分的几何意义（三）基本初等函数的微分与微分的四则运算法则（四）微分在近似计算中的应用六、边际与弹性（一）边际的概念（二）经济学中的常见的边际函数（三）弹性的概念（四）经济学中的常见的弹性函数重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则、隐函数求导法难点：复合函数及隐函数求导第四章中值定理及导数的应用一、中值定理（一）罗尔定理（二）拉格朗日中值定理（三）柯西中值定理二、洛必达法则（一）（二）及（三）三、导数的应用（一）函数的单调性（二）函数的极值（三）曲线的凹凸性和拐点（四）函数图形的描绘四、函数的最大值和最小值及其在经济中的应用（一）函数的最大值和最小值（二）经济应用问题重点：洛必达（L'Hospital）法则求极限，函数单调性、凹凸性难点：洛必达（L'Hospital）法则求未定式极限第五章不定积分一、不定积分的概念、性质（一）原函数与不定积分的概念（二）不定积分的几何意义（三）基本积分公式（四）不定积分的性质二、换元积分法（一）第一换元积分法（二）第二换元积分法三、分部积分法四、有理函数的积分（一）六个基本积分（二）待定系数法重点：原函数与不定积分的概念、求函数的不定积分难点：求函数的不定积分第六章定积分及其应用一、定积分的概念（一）面积、路程问题（二）定积分的定义二、定积分的性质三、微积分的基本公式（一）积分上限的函数及其导数（二）牛顿一莱布尼茨公式四、定积分的换元积分法五、定积分的分部积分法六、反常积分与函数（一）无穷限的反常积分（二）无界函数的反常积分（三）函数七、定积分的几何应用（一）定积分的元素法（二）平面图形的面积（三）旋转体的体积（四）平行截面面积已知的立体体积八、定积分经济应用（一）由边际函数求原函数（二）由变化率求总量（三）收益流的现值和将来值重点：牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，变上限定积分函数及其导数，定积分的换元积分法和分部积分法，定积分的应用。难点：变上限定积分函数及其导数，定积分的换元积分法和分部积分法，利用定积分计算平面图形的面积。第七章向量代数与空间解析几何一、空间直角坐标系（一）空间点的直角坐标（二）空间两点间的距离（三）曲面方程的概念（四）空间曲线方程的概念（五）维点集二、柱面及旋转曲面（一）柱面（二）旋转曲面三、二次曲面四、空间的平面方程重点：空间直角坐标系、空间两点间的距离难点：常见的二次曲面。第八章多元函数微分学一、多元函数的基本概念（一）多元函数的概念（二）二元函数的极限（三）二元函数的连续性二、偏导数及其在经济分析中的应用（一）偏导数的定义及其计算方法（二）偏导数的几何意义（三）函数偏导数存在与函数连续的关系（四）高阶偏导数（五）偏导数在经济分析中的应用三、全微分及其应用（一）全微分（二）全微分在近似计算中的应用四、多元复合函数的求导法则五、隐函数的求导公式（一）一个方程的情形六、多元函数的极值及其应用（一）二元函数的极値（二）二元函数的最値条件极值、拉格朗日乘数法重点：多元复合函数偏导数的方法、隐函数的偏导数及全微分、极值存在的必要条件和充分条件、拉格朗日乘数法求条件极值。难点：多元复合函数偏导数的方法、隐函数的偏导数及全微分第九章二重积分一、二重积分的概念及性质（一）二重积分的概念（二）二重积分的性质二、二重积分的计算(一)在直角坐标下的二重积分计算（二）在极坐标下的二重积分计算（三）无界区域上的反常二重积分.重点：二重积分的计算难点：二重积分在直角坐标、极坐标系下的计算方法第十章微分方程与差分方程一、常微分方程的基本概念（一）基本概念二、一阶微分方程（一）变量可分离的微分方程与分离变量法（二）齐次方程（三）一阶线性微分方程（四）一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介三、一阶微分方程在经济中的应用四、可降阶的二阶微分方程（一）型的微分方程（二）型的微分方程（三）型的微分方程五、二阶常系数线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程（二）二阶常系数非齐次线性微分方程六、差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构（一）差分的概念（二）差分方程的概念（三）常系数线性差分方程解的结构七、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数齐次线性差分方程（二）一阶常系数非齐次线性差分方程八、二阶常系数线性差分方程（一）二阶常系数齐次线性差分方程（二）二阶常系数非齐次线性差分方程九、差分方程的简单经济应用重点：变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程，二阶常系数齐次线性方程，一阶常系数线性差分方程。难点：变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。第十一章无穷级数一、常数项级数的概念和性质（一）常数项级数的概念（二）几何级数（三）级数的基本性质二、正项级数及其审敛法（一）正项级数的比较审敛法（二）正项级数的比值审敛法三、任意项级数绝对收敛与条件收敛（一）交错级数及其审敛法（二）绝对收敛与条件收敛四、泰勒级数与幂级数（一）泰勒级数（二）幂级数（三）函数展成泰勒级数的间接方法五、幂级数展开式的应用（一）近似计算（二）微分方程的幂级数解法重点：正项级数的比较判别法和比值判别法、任意项级数绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛半径、函数间接展成幂级数。难点：正项级数的比较判别法和比值判别法、任意项级数绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛半径、函数间接展成幂级数。四、课程各教学环节要求五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计第一章函数612第二章极限与连续14240第三章导数、微分、边际与弹性12236第四章中值定理及导数的应