高三文科数学总复习课件平面向量的概念及其线性运算精讲

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算第四章平面向量、数系的扩充与复数高三文科数学总复习ppt课件平面向量的概念及其线性运算精讲【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)向量的有关概念:①向量:既有_____,又有_____的量叫向量;②模:向量的_____叫做向量的模,记作|a|或||;③零向量:长度等于0的向量,其方向是_______,记作0;④单位向量:长度等于________的向量;大小方向长度任意的1个单位【知识梳理】大小方向长度任意的1个单位⑤平行向量:方向___________的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线;⑥相等向量:长度相等且方向_____的向量;⑦相反向量:长度相等且方向_____的向量.相同或相反相同相反⑤平行向量:方向___________的非零向量,又叫共线向(2)向量的加法与减法:加法减法定义求两个向量和的运算向量a加上向量b的_________叫做a与b的差,即a+(-b)=a-b相反向量(2)向量的加法与减法:加法减法定义求两个向量和的运算向量加法减法法则(或几何意义)_______法则___________法则_______法则运算律①交换律:a+b=____②结合律:(a+b)+c=________a-b=a+(-b)三角形平行四边形三角形b+aa+(b+c)加法减法法则_______法则运算律①交换律:a+b=___(3)向量的数乘运算及其几何意义:①定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(ⅰ)|λa|=________;(ⅱ)当λ>0时,λa与a的方向_____;当λ<0时,λa与a的方向_____;当λ=0时,λa=0.|λ||a|相同相反(3)向量的数乘运算及其几何意义:|λ||a|相同相反②运算律:设λ,μ是两个实数,则(ⅰ)________=(λμ)a;(ⅱ)(λ+μ)a=________;(ⅲ)λ(a+b)=________.(4)共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.λ(μa)λa+μaλa+λbb=λa②运算律:设λ,μ是两个实数,则λ(μa)λa+μaλa+λ2.必备结论教材提炼记一记(1)若存在非零实数λ,使得或则______三点共线.(2)若存在非零实数λ,使得=λ,则A,B,C2.必备结论教材提炼记一记A,B,C(3)三个重要结论:①相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性;②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;③平行向量与起点无关.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:数形结合法,待定系数法.(2)常用思想:数形结合,函数与方程.(3)三个重要结论:(3)记忆口诀:①向量的有关概念:大小相等同方向,就是相等的向量.大小相等反方向,称其互为负向量.向量大小叫做模,模零向量零向量.零向量仍有方向,方向不定好商量.②向量的加法:向量可加亦可减,减即加上负向量.首尾衔接向量组,初始末终和向量.起点公共两向量,平行四边形帮忙;公共起点是起点,对角线乃和向量.(3)记忆口诀:③差向量:起点公共两向量,终点构成差向量.④向量求和:非平行的两向量,求和平行四边形.平行向量要求和,需用法则三角形.③差向量:【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)单位向量只与模有关,与方向无关.()(2)零向量的模等于0,没有方向.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同.()(4)若a∥b,b∥c,则必有a∥c.()(5)=0.()【小题快练】【解析】(1)正确.由定义可知只要模为1的向量,就叫单位向量,与方向无关.(2)错误.零向量的方向是任意的.(3)错误.可能相同,也可能相反,若有零向量,则两向量方向不定.(4)错误.若b为0,则a不一定与c共线.(5)正确.=0.答案:(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√【解析】(1)正确.由定义可知只要模为1的向量,就叫单位向量2.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则=

.【解析】答案:2.教材改编链接教材练一练(2)(必修4P92B组T2改编)已知a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边构成的四边形的形状为

.【解析】如图,在以a与b为邻边的四边形中,|a+b|与|a-b|分别为四边形的两条对角线,故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,以a,b为邻边的四边形是矩形.答案:矩形(2)(必修4P92B组T2改编)已知a,b是非零向量,若|3.真题小试感悟考题试一试(1)(2013·四川高考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则λ=

.3.真题小试感悟考题试一试【解析】在平行四边形ABCD中,而所以故λ=2.答案:2【解析】在平行四边形ABCD中,而(2)(2013·江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若

(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为

.【解析】由则λ1+λ2的值为.答案:(2)(2013·江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,(3)(2015·威海模拟)判断下列四个命题:①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的是

.(3)(2015·威海模拟)判断下列四个命题:【解析】①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;②中两向量的模相等,但方向不一定相同,故这两向量不一定相等;③中两向量的模相等,但两向量不一定共线;④中两向量相等,则模一定相等,故正确.答案:④【解析】①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故考点1平面向量的概念【典例1】(1)(2015·滨州模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|考点1平面向量的概念(2)(2015·洛阳模拟)给出下列命题:①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件;②若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上;③若a与b同向,则a与-b反向;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的序号为

.(2)(2015·洛阳模拟)给出下列命题:【解题提示】(1)利用向量相等与单位向量的概念求解.(2)利用共线向量定理逐一判断.【解题提示】(1)利用向量相等与单位向量的概念求解.【规范解答】(1)选C.由表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.(2)对于①,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;对于②,因为向量与共线,且有公共点B,所以该结论是正确的;对于③,因为b与-b反向,所以该结论正确;对于④,当λ=μ=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,所以④不正确.答案:④【规范解答】(1)选C.由表示与a同向的单位向量,【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.(1)不清楚,表示何种向量,不知道是a方向上的单位向量.(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.【互动探究】若本例(2)④中的λ,μ都为非零实数,该结论是否正确?【解析】因为λ,μ都为非零实数,则由λa=μb,得a=b,由共线向量定理知该结论成立.【互动探究】若本例(2)④中的λ,μ都为非零实数,该结论是否【规律方法】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.【规律方法】向量有关概念的关键点【变式训练】下列命题中正确的个数为()①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线;④如果a=b,b=c,那么a=c.A.1B.2C.3D.0【变式训练】下列命题中正确的个数为()【解析】选A.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;④正确,因为a=b,b=c,由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.【解析】选A.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有【加固训练】1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,上述命题中,假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.【加固训练】1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,2.(2015·南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是()A.向量的相反向量是B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则=D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线2.(2015·南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是(【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图,A,B,C,D四点满足条件,但≠,所以C不正确;对于D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D正确.【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图,考点2平面向量的线性运算

知·考情平面向量的线性运算是高考考查的热点内容.常以选择题、填空题的形式出现.考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法则及向量的相等.考点2平面向量的线性运算明·角度命题角度1:利用向量加减运算的几何意义求解向量问题【典例2】（2014·福建高考）设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()【解题提示】利用平面向量的平行四边形法则求解.明·角度【规范解答】选D.因为M是□ABCD对角线交点，所以M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知，故【规范解答】选D.因为M是□ABCD对角线交点，所以M是AC命题角度2:利用平面向量线性运算求解向量问题【典例3】(2015·临沂模拟)在△ABC中,若D是AB边上一点且则λ+μ=()A.B.1C.-1D.-【解题提示】作出图形利用向量线性运算求解.命题角度2:利用平面向量线性运算求解向量问题【规范解答】选B.如图所示,由三角形法则可知故μ=,λ=,λ+μ=+=1.【规范解答】选B.如图所示,由三角形法则可知悟·技法平面向量线性运算的一般思路(1)准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式.(3)比较,观察可知所求结果.悟·技法通·一类1.(2015·厦门模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=()通·一类【解析】选C.设a=以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C.【解析】选C.设a=以OP,OQ为邻边作平2.(2015·九江模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且那么一定有()【解析】选D.由题意得即2.(2015·九江模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且3.(2015·扬州模拟)在△ABC中,N是AC边上一点且P是BN上一点,若则实数m的值是

.3.(2015·扬州模拟)在△ABC中,N是AC边上一点且【解析】如图所示.设则=因为所以λ=,所以1-λ=,所以m=.答案:【解析】如图所示.设4.(2015·兰州模拟)任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若则λ+μ=

.【解析】如图所示,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以又因为所以①同理②4.(2015·兰州模拟)任意四边形ABCD中,E,F分别是由①+②得,所以所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.答案:1由①+②得,考点3共线向量定理及其应用【典例4】(1)(2015·沈阳模拟)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于()A.aB.bC.cD.0考点3共线向量定理及其应用(2)如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,①用a,b表示向量②求证:B,E,F三点共线.(2)如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,【解题提示】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解.(2)①利用线性运算几何意义求解.②利用共线向量定理得出.【解题提示】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解.【规范解答】(1)选D.因为a+b与c共线,所以a+b=λ1c.①又因为b+c与a共线,所以b+c=λ2a.②由①得:b=λ1c-a.所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,所以即所以a+b+c=-c+c=0.【规范解答】(1)选D.因为a+b与c共线,(2)①由已知可得:因为所以=·

(a+b)=

(a+b),=b,=(a+b)-a=b-

a,=b-a.(2)①由已知可得:②由=b-

a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.②由=b-a,【规律方法】共线向量定理的应用(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.(2)证明三点共线:若存在实数λ,使则A,B,C三点共线.(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.提醒:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.【规律方法】共线向量定理的应用【变式训练】设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.【变式训练】设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e【解析】(1)由已知得=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2,又有公共点B,所以A,B,D三点共线.【解析】(1)由已知得=(2e1-(2)由(1)可知=e1-4e2,且=3e1-ke2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即3e1-ke2=λe1-4λe2,得解得k=12,所以k=12.(2)由(1)可知=e1-4e2,且=3e1【加固训练】1.a=λb(λ∈R)是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=λb(λ∈R)时,若b=0,则a=0,显然a与b共线;若b≠0,则由共线向量定理知a与b共线.反之,若a与b共线,当b=0,而a≠0时,a=λb(λ∈R)不成立.故选A.【加固训练】1.a=λb(λ∈R)是a与b共线的()2.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.2.设两个非零向量a与