云南省曲靖市会泽县娜姑中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

云南省曲靖市会泽县娜姑中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（▲）。A．若与所成的角相等，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：C略2.若a、b是两条异面直线，则总存在唯一确定的平面，满足（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B3.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知数列{an}的各项均为整数，a8=－2，a13=4，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则a15=（

）A．8

B．16

C．64

D．128参考答案：B5.设复数互为共轭复数，，则＝()A．－2＋i

B．4

C．－2

D．－2－i参考答案：B6.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，函数g（x）=（2x﹣x2）ex+m，若?x1∈[﹣4，﹣2]，?x2∈[﹣1，2]，使得不等式f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，+2] C．[+2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，运用二次函数和指数函数的单调性，求得f（x）的最小值；对g（x），求得导数，求得单调区间和极值，最值，可得g（x）的最小值，由题意可得f（x）min≥g（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，当0≤x＜1时，f（x）=﹣2x2＞f（1）=﹣2=﹣，当1≤x＜2时，f（x）=，f（x）在[1，）递减，在[，2）递增，可得f（x）在x=处取得最小值，且为﹣2；由﹣2＜﹣，可得f（x）在[0，2]的最小值为﹣2；对于g（x）=（2x﹣x2）ex+m，g′（x）=（2﹣x2）ex，当x∈[﹣1，]时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x∈[，2]时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得x=处g（x）取得极大值，也为最大值；g（﹣1）=﹣3e﹣1+m＜g（2）=m，可得g（x）的最小值为g（﹣1）．由题意可得f（x）min≥g（x）min，即为﹣2≥﹣3e﹣1+m，即m≤﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数的性质和运用，考查周期性和单调性的运用，注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．7.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知函数的图象关于对称，且在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（

）A． B． C． D．0参考答案：B试题分析：因为函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，又函数在上单调，数列是公差不为0的等差数列，且，所以，所以，故选B．考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前项和公式．9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3=a6+4若S5＜10，则a2的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，0） C．（1，+∞） D．（0，2）参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由3a3=a6+4，可得d=2a2﹣4，由S5＜10，可得=5（3a2﹣d）＜10，解得a2范围．【解答】解：设公差为d，∵3a3=a6+4，∴3（a2+d）=a2+4d+4，可得d=2a2﹣4，∵S5＜10，∴===5（3a2﹣d）＜10，解得a2＜2．∴a2的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．10.函数的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最小值为_____________．参考答案：试题分析：由于，，令，，故原式，故其最小值为，故答案为.考点：（1）和差化积公式；（2）三角函数的最值.12.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______.参考答案：【分析】根据约束条件画出平面区域，由目标函数可知，本题为斜率型的目标函数，因此转化为两个点之间的斜率。【详解】约束条件所表示的平面区域如下图由目标函数可得，表示点平面区域上的点到点的斜率，因此平面内点到点的斜率最小，即，平面内点到点的斜率最大【点睛】本题考查了线性规划的可行域内的点到定点的斜率的最值，即斜率型的目标函数。13.等比数列中，已知，则=

▲

．参考答案：略14.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．其中真命题的序号为

（将所有真命题的序号都填上）参考答案：②③15.若则的值为

.参考答案：2

略16.已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则_________．参考答案：417.平面向量的夹角为，________________.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性； （Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性； （2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=， 若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， （Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1， ∵f（）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0， 令g（a）=lna+a﹣1， ∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）． 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题． 19.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为，正四面体的三个侧面上的数字之和为．（Ⅰ）求事件的概率；（Ⅱ）求事件“点满足”的概率．

参考答案：（Ⅰ）由题可知的取值为，的取值为

基本事件空间：共计24个基本事件

……3分满足的有共2个基本事件所以事件的概率为

……7分（Ⅱ）设事件B=“点（a,b）满足”

当时，满足当时，满足当时，满足所以满足的有，所以

……13分

略20.已知椭圆过点，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆，直线交椭圆于，两点，交椭圆于，两点，为坐标原点.（i）当直线经过原点时，求的值；（ⅱ）当直线经过点时，若，求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，且过点，离心率，所以，

所以由，得

所以椭圆的标准方程是 ……

3分（Ⅱ）（i）因为直线经过原点，所以由椭圆的对称性，不妨设点，在点的同侧.设点，，所以，因为点在椭圆上，所以，即所以（负值舍去），即

……

7分（ⅱ）因为直线经过点，①当直线的斜率不存在时，，不符合题意.

……

8分②当直线的斜率存在时，设为，所以直线的方程为联立方程组消去，得所以，所以

……

10分联立方程组消去，得所以，所以

……

12分因为，所以所以，或.

所以直线的方程是，或

……

13分21.已知f（x）=ex，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R． （Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性； （Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2． （ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1； （ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可； （Ⅱ）（i）法一：求出x2﹣x1的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；法二：用x1表示x2，根据不等式的性质判断即可； （ii）求出A、B的坐标，分别求出曲线在A、B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）h（x）=ex（﹣x2+2x+a），则h′（x）=﹣ex[x2﹣（a+2）] 当a+2≤0即a≤﹣2时，h′（x）≤0，h（x）在R上单调递减； 当a+2＞0即a＞﹣2时，h′（x）=﹣ex[x2﹣（a+2）]=﹣ex（x+）（x﹣），此时h（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上都是单调递减的， 在（﹣，）上是单调递增的； （Ⅱ）（ⅰ）g′（x）=﹣2x+2，据题意有（﹣2x1+2）（﹣2x2+2）=﹣1，又0＜x1＜x2，则﹣2x1+2＞0且﹣2x2+2＜0，?（﹣2x1+2）（2x2﹣2）=1， 法1：x2﹣x1=[（﹣2x1+2）+（2x2﹣2）]≥=1 当且仅当（﹣2x1+2）=（2x2﹣2）=1即x1=，x2=时取等号 法2：x2=1+，0＜1﹣x1＜1?x2﹣x1=1﹣x1+≥2=1当且仅当1﹣x1=?x1=时取等号 （ⅱ）要在点A，B处的切线重合，首先需在点A，B处的切线的斜率相等， 而x＜0时，φ′（x）=f′（x）=ex∈（0，1），则必有x1＜0＜x2＜1， 即A（x1，ex1），B（x2，﹣+2x2+a） A处的切线方程是：y﹣ex1=ex1（x﹣x1）?y=ex1x+ex1（1﹣x1）， B处的切线方程是：y﹣（﹣+2x2+a）=（﹣2x2+2）（x﹣x2） 即y=（﹣2x2+2）x++a， 据题意则?4a+4=﹣ex1（ex1+4x1﹣8），x1∈（﹣∞，0） 设p（x）=﹣ex（ex+4x﹣8），x＜0，p′（x）=﹣2ex（ex+2x﹣2） 设q（x）=ex+2x﹣2，x＜0?q′（x）=ex+2＞0在（﹣∞，0）上恒成立， 则q（x）在（﹣∞，0）上单调递增?q（x）＜q（0）=﹣1＜0， 则p′（x）=﹣2ex（ex+2x﹣2）＞0，?p（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 则p（x）＜p（0）=7，再设r（x）=ex+4x﹣8，x＜0 r′（x）=ex+4＞0，?r（x）在（﹣∞，0）上单调递增，?r（x）＜r（0）=﹣7＜0 则p（x）=﹣ex（ex+4x﹣8）＞0在（﹣∞，0）恒成立 即当x∈（﹣∞，0）时p（x）的值域是（0，7） 故4a+4∈（0，7）?﹣1＜a＜，即为所求． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题． 22.19．（本小题满分14分）已知，为椭圆的左右顶点，为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点的直线与椭圆的另一个交点为（不同于，），与椭圆在点处的切线交于点．