四川省德阳市绵竹土门中学高三数学文月考试题含解析

四川省德阳市绵竹土门中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．432

B．288

C．216

D．144参考答案：B2.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）

（A）若且，则

（B）若且，则（C）若且，则

（D）若且，则参考答案：【答案解析】B

解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.3.已知抛物线（p＞0）的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为(

)

A.

B.2

C.+1

D.-1参考答案：C略4.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值是（）A．B． C． D．参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立如图所示直角坐标系，求出λ=，μ=，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），所以=（﹣1，1），=（，），若=（﹣λ+μ，λ+），又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P，所以点P的坐标为P（，），=（，）所以﹣λ+μ=，λ+=，所以λ=，μ=，所以λ+μ=故选B．5.若各项均为正数的等比数列{an}满足a2=1，a3a7﹣a5=56，其前n项的和为Sn，则S5=（）A．31B．C．D．以上都不对参考答案：C考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a5=8，进而可得公比q，代入求和公式可得．解答：解：由等比数列的性质可得a3a7=a52，∵a3a7﹣a5=56，∴a52﹣a5=56，结合等比数列{an}的各项均为正数可解得a5=8，∴公比q满足q3==8，∴q=2，∴a1=，∴S5===，故选：C点评：本题考查等比数列的前n项和，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．6.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值(

) A．2个 B．1个 C．3个 D．4个参考答案：B考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．解答： 解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．7.函数，则的自变量的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】分式，绝对值不等式的解法E3

E2D解析：或或或或故选D．【思路点拨】对于分段函数，分清楚每个条件对应下的解析式，再按条件求解即可.8.若关于的不等式在[1,2]区间上有解，则的取值范围是（

）A．(－∞,0)

B．

C.

D．参考答案：D9.高斯是德国著名数学家,享有“数学王子”之称.以他名字“高斯”命名的成果达110个.设，用表示不超过的最大整数,并用,表示的非负纯小数,则称为高斯函数.已知数学满足,,则（

）A.3034+

B.

3024+

C.

3034+

D

3024+参考答案：B10.已知三棱锥中，，，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为A.π

B.8π

C.12π

D.π参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足，则x+2y的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：612.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸

(单位：cm)，可得这个几何体的体积为____

_cm3．参考答案：13.已知集合，是集合的非空子集，把集合中的各元素之和记作.①满足的集合的个数为_____；②的所有不同取值的个数为_____.参考答案：6，5050略14.在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于

。参考答案：15.若是纯虚数，则实数a的值是

▲

．参考答案：答案：116.三角形ABC中，若,则ABC的形状为

参考答案：等腰三角形略17.为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为

；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室。参考答案：答案：（I）（II）

解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得（II）由题意可得，即得或或

，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆的方程为．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由△＞0，得b＞，，，y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=，由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，∵b＞，∴b=3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19.(本小题满分14分)

已知函数

(a为实数)．(I)当a=5时，求函数在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若在区间[t，t+2](t>0)上，至少存在一个x0∈[t，t+2]，使得m>f(x0)成立。求实数m的取值范围；(Ⅲ)若存在两不等实根xl，x2∈[，e]，使方程成立，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当时，由得，

……1，故切线斜率为………2所以切线方程为：

……………4（Ⅱ）根据题意大于在上的最小值即可.……………5

…………………6……720.（16分）已知函数f（x）=x2+bx+c为偶函数，关于x的方程f（x）=a（x+1）2（a≠1）的根构成集合{1}．（1）求a，b，c的值；（2）求证：≤|x|+1对任意的x∈[﹣2，2]恒成立；（3）设g（x）=+若存在x1，x2∈[0，2]，使得|g（x1）﹣g（x2）|≥m，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题： 导数的综合应用．分析： （1）由f（﹣x）=f（x）得x2﹣bx+c=x2+bx+c，解得b=0，又f（x）=a（x+1）2只有一个根1，即（a﹣1）x2+2ax+a﹣c=0只有一个根1，利用判别式即可求出a，c；（2）根据偶函数性质将所证问题等价转化为对任意的x∈[0，2]恒成立，构造函数h（x）=（x+1）2﹣（x2+1），利用二次函数性质得出（x+1）2≥（x2+1）＞0，开方即可得证；（3）存在x1，x2∈[0，2]，使得|g（x1）﹣g（x2）|≥m，等价于|g（x1）﹣g（x2）|max≥m，由（2）和题目条件可得和，从而可得，因此|g（x1）﹣g（x2）|max=，所以可求出实数m的取值范围．解答： （1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=x2+bx+c，解得b=0；又f（x）=a（x+1）2只有一个根1，即x2+c=a（x+1）2只有一个根1，即（a﹣1）x2+2ax+a﹣c=0只有一个根1，又a≠1，∴，解得，∴a=，b=0，c=1．（2）∵f（x）为偶函数，∴≤|x|+1对任意的x∈[﹣2，2]恒成立等价于≤|x|+1对任意的x∈[0，2]恒成立，即≤x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，即对任意的x∈[0，2]恒成立，令h（x）=（x+1）2﹣（x2+1）=﹣=，由二次函数性质易知在，在[0，2]上h（x）≥g（0）=g（2）=0，∴（x+1）2≥（x2+1）＞0，∴即，从而问题得证；（3）由题意可知，|g（x1）﹣g（x2）|max≥m，∵f（x）=x2+1，∴，又由（2）得，∴2﹣x）+1即，∴|g（x1）﹣g（x2）|max=即m≤∴实数m的取值范围是（﹣∞，）．点评： 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的应用，数学的转化思想方法，属于压轴题，难题．21.（14分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明；（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由．

参考答案：解析：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以

……3分证法二：设点P的坐标为记则由，得．证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

由椭圆第二定义得，即

由，所以

……3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是

……7分

解法二：设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（），则

因此

①

由得

②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是

……7分③④

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.

……11分

当时，，

由，

，

，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④

由④得

上式代入③得

于是，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.