2022-2023学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知向量，若，则实数()

A.B.C.D.

2.设是虚数单位，则()

A.B.C.D.

3.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称若角的终边与单位圆交于点，则()

A.B.C.D.

4.已知，，则()

A.B.C.D.

5.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”把以上这段文字写成公式，就是其中为三角形面积，为小斜，为中斜，为大斜在中，若，，，则的面积等于()

A.B.C.D.

6.已知，是两条不重合直线，，是两个不重合平面，则下列说法正确的是()

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

7.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点若位于函数的图象上，则()

A.，的最小值为B.，的最小值为

C.，的最小值为D.，的最小值为

8.如图，在四边形中，，，，，若为线段上一动点，则的最大值为()

A.

B.

C.

D.

9.如图，在正方形中，，分别为边，的中点现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为在该四面体中，作平面，垂足为，则是的()

A.垂心B.内心C.外心D.重心

10.如图，已知直线，为，之间一定点，并且点到的距离为，到的距离为，为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则面积的最小值为()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积等于______．

12.某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为______．

13.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是若，则______．

14.若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为______．

15.如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论：

当为线段的中点时，，两点之间距离的最小值为；

当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；

存在点，，使得平面；

当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

在中，．

Ⅰ求；

Ⅱ若，且的面积为，求的值．

17.本小题分

如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点．

Ⅰ求证：平面；

Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，

求证：平面平面．

条件：；

条件：．

注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

18.本小题分

已知函数的部分图象如图所示Ⅰ求的解析式；

Ⅱ设函数，求在区间上的最大值以及取得最大值时的值．

19.本小题分

在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这个科目中选择个科目学习并参加相应的等级性考试为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一班和高一班的相关数据，如表：

科目

人数

班级物理化学物理生物物理思想政治物理历史物理地理

高一

高一

其中高一班共有名学生，高一班共有名学生假设所有学生的选择互不影响．

Ⅰ从该校高一班和高一班所有学生中随机选取人，求此人在模拟选科中选择了“物理化学”的概率；

Ⅱ从表中选择“物理思想政治”的学生中随机选取人参加座谈会，求这人均来自高一班的概率；

Ⅲ该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一班和高一班各随机选取人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理历史”根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理历史”的人数发生了变化？说明理由．

20.本小题分

如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点．

Ⅰ求证：为棱的中点；

Ⅱ若平面平面，，，为等边三角形，求四棱锥的体积．

21.本小题分

设非零向量，，并定义．

Ⅰ若，，求，，；

Ⅱ写出，，之间的等量关系，并证明；

Ⅲ若，求证：集合是有限集．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：向量，，，

则，解得．

故选：．

根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：．

故选：．

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：因为角与角终边关于原点对称，

所以角的终边与单位圆交于点，

所以．

故选：．

由题意可得角的终边与单位圆交于点，再利用任意角的三角函数的定义求解．

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故选：．

先求出的值，再根据和差角公式即可得解．

本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：在中，若，，，

则的面积．

故选：．

由题意利用三角形的面积公式即可求解．

本题考查了解三角形，考查了学生的计算能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：若，，则或，故A错误；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误；

若，，则或，又，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；

若，，，则，故D正确．

故选：．

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：点在函数上，所以，则，

由题意可得，，可得，，

所以的最小值为．

故选：．

由题意在函数上，可得的值，求出的坐标，由题意可得关于的方程，可得的最小值．

本题考查三角函数的平移变换的应用，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，

则，，，，

设，其中，

则，，

，

当时，有最大值，为．

故选：．

由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．

本题考查平面向量的坐标运算，二次函数的值域，属于中档题．

9.【答案】

【解析】

解：如图所示为折叠完之后的几何体．

，，，

平面，．

又平面，，

，平面，

．

同理可得，，所以是三条高的交线，是垂心．

故选：．

本题主要利用直线与直线，直线与平面垂直的性质和定理解决问题．

本题利用线线垂直，线面垂直的性质和定理进行推导，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．

直线的斜率存在，设方程为：，．

则直线的方程为：，

，．

的面积，

当且仅当时取等号．

的面积最小值为．

故选：．

如图所示，建立直角坐标系．直线的斜率存在，设方程为：，，直线的方程为：，

可得的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：圆柱的底面半径为，母线长为，

其侧面积为．

故答案为：．

圆柱的底面半径为，母线长为，其侧面积为，由此能求出结果．

本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.【答案】

【解析】解：由题意，射击一次命中的环数不超过的概率为．

故答案为：．

根据对立事件的定义求解即可．

本题考查对立事件的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：向量对应的复数是，向量对应的复数是，

则，，

，

，解得．

故答案为：．

根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量垂直的性质，即可求解．

本题主要考查复数的几何意义，以及向量垂直的性质，属于基础题．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：当，时，，不符合条件，

当，时，，则函数区间上单调递增，符合条件；

当，时，，，，

时，函数单调递增，可得，所以，，且，

可得，所以，即，则舍，

综上所述：，．

故答案为：答案不唯一

分当，，，，当，时三种情况讨论，可得的一个取值．

本题考查分类讨论的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．

15.【答案】

【解析】解：对，当为线段的中点时，如图所示，连接，，

则为的中点，是边长为的正三角形，

到的垂线段最短，此时，错误；

对，当为线段的中点时，如图，

到平面的距离为定值，

又的面积也为定值，

三棱锥的体积为定值，正确；

对，如图所示，当与重合，与重合时，

由三垂线定理易得，，

从而可得平面，正确；

对，当为靠近点的三等分点时，

延长交于点，取的中点，

连接，，，

则易知平行等于，且平行等于，

平行等于，

易得平面截该正方体所得截面为等腰梯形，

又易知，，，

平面截该正方体所得截面的周长为，错误．

故答案为：．

根据点到直线的距离最短，三棱锥的体积公式，三垂线定理及线面垂直的判定定理，平行线的传递性，即可分别求解．

本题考查正方体中的动点问题，化归转化思想，属中档题．

16.【答案】解：Ⅰ因为，由正弦定理可得，

在三角形中，，

所以可得，

解得；

Ⅱ，，可得，

由余弦定理可得．

即的值为．

【解析】Ⅰ由正弦定理及，可得的值，再由角的范围，可得角的大小；

Ⅱ由题意及Ⅰ可得边的大小，再由余弦定理可得边的值．

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．

17.【答案】证明：Ⅰ，分别为棱，的中点，可得，且，

即有四边形为平行四边形，则，

平面，平面，则平面；

Ⅱ选条件：．

由平面，平面，可得，

而，所以平面，

又平面，

所以平面平面；

选条件：，

又为的中点，可得，

又平面，平面，可得，

而，所以平面，

又平面，

所以平面平面．

【解析】Ⅰ推得为平行四边形，由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，可得证明；

Ⅱ分别选，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理，可得证明．

本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题．

18.【答案】解：由题意可知，，，

当时取得最大值，所以，

由于，所以，

函数的解析式为

，

，

，

，

当，即时，，

当，即时，．

【解析】由题意求出，，利用周期公式求出，利用当时取得最大值，求出，即可得到函数的解析式；

根据正弦函数的最值结合定义域即可求函数在区间上的最值．

本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数最值的求法，考查计算能力，是基础题．

19.【答案】解：Ⅰ依题意得高一班和高一班学生共有人，即该随机试验的样本空间有个样本点，

设事件“此人在模拟选科中选择了“物理化学””，

则事件包含个样本点，

所以；

Ⅱ依题意得高一班选择“物理思想政治”的学生有人，分别记为，，

高一班选择“物理思想政治”的学生有人，分别记为，，，

该随机试验的样本空间可以表示为：

，

即，

设事件“这人均来自高一班”，则，

所以，故；

Ⅲ设事件“从高一随机选取人，此人在第二次选科中选择了“物理历史””，

事件“从高一班随机选取人，此人在第二次选科中选择了“物理历史””，

事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理历史””，

假设第二次选科中选择“物理历史”的人数没有发生变化，

则由模拟选科数据可知，，

所以．

答案示例：可以认为第二次选科中选择“物理历史”的人数发生变化．理由如下：

比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理历史”的人数发生了变化；

答案示例：无法确定第二次选科中选择“物理历史”的人数是否发生变化．理由如下：

事件是随机事件，虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理历史”的人数是否有变化．

【解析】Ⅰ设事件“此人在模拟选科中选择了“物理化学”，利用古典概型概率公式即可求解；

Ⅱ依题意得高一班选择“物理思想政治”的学生有人，分别记为，，高一班选择“物理思想政治”的学生有人，分别记为，，，通过列举法代入古典概型概率公式即可求解；

Ⅲ设事件“从高一随机选取人，此人在第二次选科中选择了“物理历史””，事件“从高一班随机选取人，此人在第二次选科中选择了“物理历史””，事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理历史””，计算出各自对应的概率即可求解．

本题考查了古典概型的概率计算，属于中档题．

20.【答案】证明：Ⅰ因为四边形是矩形，所以，

又平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面平面，

所以，即，

又为棱的中点，所以为棱的中点；

解：Ⅱ因为四边形是矩形，所以，

因为平面平面，平面，平面平面，

所以平面，所以，，

因为为等边三角形，为棱的中点，所以，

因为，所以平面，

即