相似三角形的九大模型 - 教师版

相似三角形的九大模型-教师版BFMC，EF//MC，MEF∽MBC，BC2MC，EFBEMCBC38，BE3AE，EFED5AEED8，BC2MC，CDBCBD2MC3AE2MC\dfrac{3}{2}ED2MC\dfrac{15}{8}EF，四边形BCEF为平行四边形，BCEFBE3AE\dfrac{24}{5}EF，代入CD的表达式中，CD2MC\dfrac{15}{8}EF2MC\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{5}{24}(BCEF)2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}EF，四边形EFGH的周长为EFFGGHEHEFBCCDED\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}EFED\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{8}{5}CD\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BCCD\dfrac{24}{5}\cdot\dfrac{8}{15}CD2MC\dfrac{5}{8}BCCD\dfrac{213}{40}．中的角A、B、C分别对折，使得三角形的三个顶点重合，如图所示。已知角A的度数为60°，边AB的长为10cm，边AC的长为8cm。求重合后三角形的面积。【答案】将三角形对折后，可以得到一个正三角形，边长为10cm。由于对折不改变面积，所以重合后三角形的面积为正三角形的面积，即S=（根号3/4）×10²=25根号3cm²。（2）当ACBC时，设AC为直角边，BD为斜边，记AD为x，BC为y，则AB为$\sqrt{x^2+y^2}$，由相似三角形可得EF为$\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$，由于$\triangleADF$和$\triangleBCF$的高分别为x和y，所以$\frac{AF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，又$\triangleAEF$和$\triangleCEF$的高分别为x和y，所以$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{y}$，$\frac{CE}{AE}=\frac{y}{x}$，由余弦定理可得$DF=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$，其中$\theta=\angleADE=\angleBCD$，所以$\frac{DF}{BD}=\frac{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}{\sqrt{x^2+y^2}}$，又$\triangleBDF$和$\triangleADF$的高分别为y和x，所以$\frac{BF}{AF}=\frac{y}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，由于$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{y}$，所以$\frac{AF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，由于$\frac{AF}{AB}+\frac{BF}{AB}=1$，所以$AF\perpAB$。2．已知：$\angleADE=\angleBCD$，$\angleACD+\angleDCB=90^\circ$，$\angleDCA+\angleACF=90^\circ$，则$\angleACF=\angleBCD=\angleADF$，$\angleAED=\angleCEF$，$\angleBAC=\angleCFD$，$\angleACB=\angleDCF=90^\circ$，因此$\triangleACB\sim\triangleFDC$，$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CF}$，$\triangleBCD\sim\triangleACF$，$\angleB=\angleCAF$，从而$AF\perpAB$。24．已知$\angleADC=\angleACB$，$AD=2$，$BD=6$，则由正弦定理可得$\frac{AC}{\sin\angleACD}=\frac{AD}{\sin\angleADC}=\frac{BD}{\sin\angleBDC}=\frac{6}{\sin\angleACD}$，从而$AC=2\sin\angleACD=4$。25．已知$\angleBAD$被$AD$平分，$AD$的垂直平分线交$AD$于$E$，交$BC$的延长线于$F$，则$\angleAFB=\angleCFA$，$\triangleACF\sim\triangleBAF$，由相似比可得$AF^2=BF\cdotCF$，即$FD^2=FB\cdotFC$。又因为$\triangleACF\sim\triangleBAF$，所以$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BF}{CF}$。27．已知$\angleBFA=90^\circ$，连接$BE$交$AC$于$F$，则$\triangleBEA\sim\triangleACD$，$\triangleFED\sim\triangleDEB$，$\triangleCFD\sim\triangleABG$，$\triangleADF\sim\triangleCFB$。因此相似的为①和④。28．（1）由对角线的性质可知$\angleAPD=\angleCPD$，又因为$\angleBFA=90^\circ$，所以$\angleAPE=90^\circ$，因此$\triangleAPE\cong\triangleFPD$，从而$\triangleAPD\cong\triangleCPD$。（2）由$\triangleAPE\cong\triangleFPD$可得$AP=PF$，从而$\triangleCPE\sim\triangleCPF$，因此$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$，即$PC^2=PE\cdotPF$，因此$PC$是$PE$和$PF$的调和平均数。在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，利用射影定理可得：AC²=AD×ABBC²=BD×AB又因为DE⊥AC，DF⊥BC，所以：AE²+DE²=AD²BF²+DF²=BD²将AC²和BC²代入上式，得：AE²+DE²=AC²BF²+DF²=BC²代入前面的式子，得：AE²+DE²=AD×ABBF²+DF²=BD×AB将两式相加，得：AE²+BF²+DE²+DF²=(AD+BD)×AB代入AE²+BF²=AB²，得：AB²+DE²+DF²=(AD+BD)×AB移项，得：AB³=(AD+BD)×AB²+DE²×AB+DF²×AB化简，得：BC³=BD×BC²+AC²×BD+CD²×AC因此，BC³/3=BD×BC²/3+AC²×BD/3+CD²×AC/3，即：BC³/3=BD×(BC²/3+AC²/3)+CD²×AC/3由于CD是斜边AB上的高线，所以CD²=BD×AD，代入上式，得：BC³/3=BD×(BC²/3+AC²/3)+BD×AD×AC/3化简，得：BC³/3=BD×(AB²/3+AC×AD/3)因为AB²=AC²+BC²，所以AB²/3=AC²/3+BC²/3，代入上式，得：BC³/3=BD×(AC²/3+BC²/3+AC×AD/3)化简，得：BC³/3=BD×(AC²+BC²+AC×AD)/3即：BC³/3=BD×(AC+BC)²/3因此：BC³/3=BD×(AC+BC)²/3即：BC³/AC²=BD×BC²/AC×AD即：BC³/AC²=BD×BC/AC即：BC³/3AC²=BD×BC/AC因此：BC³/3AC²=BD×BC/AC证毕。下面是改写后的文章：1.根据SAS准则，可以得出△APD≌△CPD；2.猜测PC2=PE×PF；证明：由于△APD≌△CPD，所以∠DAP=∠DCP，CD//BF，因此∠DCP=∠F，又∠APE=∠FPA，因此△APE∽△FPA，所以AP/PE=FP/PA，即PA2=PE×PF，又因为△APD≌△CPD，所以PA=PC，因此PC2=PE×PF；3.在直角△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，可以得到AD×BD=CD2，AC2=AD×AB，CB2=DB×AB；4.在直角△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，可以得到BC³/3=BD×(AC+BC)²/3；5.在直角△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，AB=6，可以得到BD=4.5。且BEAE，CDAE，所以Rt△ABD与Rt△ECD相似。（2）由相似可得：$\frac{CE}{AD'}=\frac{DE}{AB}$代入数据得：$\frac{CE}{8-4}=\frac{4}{6}$解得：$CE=\frac{16}{3}$cm。=APPEADCE，ABBPAPPEADCE，APPEABBPCEAD，代入DE:EC5:3得：5BP3(7BP)2，解得BP85cm，即在边BC上存在一点P，使得DE:EC5:3，BP的长为85cm。CE=47-BP=BP-3，所以2BP-50=0，BP=25。因为点P在BC上，所以1<BP<7，所以BP=6。45.如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME交BD于点G。（1）相似三角形：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM。理由：∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，又∠DME=∠A=∠B=α，所以∠AMF=∠BGM，所以△AMF∽△BGM；∠D是公共角，∠DME=∠B，所以△BMD∽△MGD；∠E是公共角，∠DME=∠A，所以△AME∽△MFE。（2）当AM=MB时，由相似三角形可知，FM/AM=GM/BM，且AM=BM，所以FM=GM。又因为∠DME=∠B，所以△MFG∽△BMG。（3）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，所以AM=BM=22。由相似三角形可知，AM/AF=BM/BG，所以BG=AM×BG/BM=11/4。又因为AC=BC=42cos45°=4，所以CG=BC-BG=15/4，CF=AC-AF=5/4。所以FG=√(CF²+CG²)=√(25/8)=5/√2。此种情况不存在。当点E在AC延长线上时，在Rt三角形CEF中