(完整版)万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

(完整版)万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习第五讲：万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律1.开普勒行星运动定律(1)第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上。(2)第二定律(面积定律)：对于任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(3)第三定律(周期定律)：所有行星轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，表达式为：a^3/T^2=k。其中，k值与太阳有关，与行星无关。(4)推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，a^3/T^2=k，但k值不同，k与行星有关，与卫星无关。(5)中学阶段对天体运动的处理办法：①将椭圆近似为圆，太阳在圆心。②认为v与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动。③R^3/T^2=k，其中R为轨道半径。2.万有引力定律(1)内容：万有引力F与m1、m2成正比，与r^2成反比。(2)公式：F=Gm1m2/r^2，其中G为万有引力常量，G=6.67×10^-11N·m^2/kg^2。(3)适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r指质点到球心间的距离。(4)两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。3.万有引力与重力的关系(1)万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力f，如图所示。①在赤道上，F=F向+mg，即mg=G(Mm/R^2-mω^2R)。②在两极，F=mg，即mg=G(Mm/R^2)；故纬度越大，重力加速度越大。由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。(2)物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，mg=G(Mm/R^2)，即g=GM/R^2；在地球表面高度为h处，mg=G(Mm/(R+h)^2)，即g=GM/(R+h)^2，随高度的增加，重力加速度减小。考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度1.T、r法：G(M+m)=m(r/2πT)^2，再根据V=4/3πr^3，ρ=M/V，当r=R时，ρ=3M/4πR^3。2.g、R法：G(M+m)=mg，M/R^2=g，ρ=3g/4πG。R2根据万有引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量和距离的平方成正比，与万有引力常数成反比。因此，我们可以通过万有引力定律来计算天体的质量和距离。其中，根据公式V=4πR3，我们可以通过测量天体的体积来计算其体积。另外，根据公式ρ=M/V，我们可以通过天体的质量和体积来计算其密度。另外，我们还可以使用v、r法和v、T法来计算天体的质量和卫星的运动参数。在计算天体的质量时，我们可以使用v、r法和v、T法。其中，v、r法利用了万有引力和向心力相等的原理，通过测量卫星的速度和距离来计算天体的质量。而v、T法则利用了万有引力和向心力的平衡，通过测量卫星的速度和周期来计算天体的质量。在计算卫星的运动参数时，我们可以使用线速度、角速度、周期和向心加速度等参数。其中，线速度和角速度可以通过万有引力和向心力的平衡来计算。而周期则可以通过测量卫星的速度和距离来计算。最后，向心加速度则可以通过万有引力和向心力的平衡来计算。对于地球同步卫星，我们需要记住其“七个一定”，包括轨道平面、周期、角速度、绕行方向、高度、线速度大小和向心加速度。其中，地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，且其高度一定为3.6×107m，线速度大小一定为3.1×103m/s，向心加速度一定为0.23m/s2。最后，我们还可以使用宇宙速度来计算天体的速度。宇宙速度是指物体在距离地球无穷远处的速度，可以通过平衡万有引力和离心力来计算。根据开普勒第三定律，我们知道T1＜T2＜T3。因此，可以根据卫星的轨道周期来确定其轨道高度。从能量角度分析变轨问题，我们可以将椭圆轨道按平均半径考虑。根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，当卫星在各轨道之间变轨时，如果从低轨道进入高轨道，则需要加速以增加能量；如果从高轨道进入低轨道，则需要减速以减少能量。从向心力的角度分析变轨问题，我们可以考虑万有引力和向心力之间的关系。当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即GMmmv时，卫星会做匀速圆周运动。如果速度突然增大，万有引力小于向心力，卫星会做离心运动，轨道半径变大；如果速度突然减小，万有引力大于向心力，卫星会做近心运动，轨道半径变小。双星问题指的是两颗相互引力系在一起、互相绕转的恒星，它们绕公共重心转动。双星系统有三个特点：各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供；两颗星的周期及角速度相同；两颗星的半径与它们之间距离关系为定值L。人造卫星可以根据轨道平面和离地高度分类。根据卫星的轨道高度，可以确定其机械能大小。发射速度需要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，因此随着轨道半径（离地高度）增大，发射速度也会增大。估算问题的解决需要基于物理概念或规律，而后通过物理方法或近似计算方法来推算物理量的数值或取值范围。在估算题中，常常需要利用隐含条件或生活中的常识，例如地球表面受到的万有引力等于重力，地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s²，地球自转周期T=24h，公转周期T=365天，月球绕地球公转周期约为27天，近地卫星周期为85分钟，日地距离约1.5亿千米，月地距离约38亿千米，同步卫星、近地卫星的数据等。在物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度问题中，物体随地球自转的向心加速度由地球对物体的万有引力的一个分力提供，计算公式为a1=ω²R=(2π/T)²R，其中T为地球自转周期，R为地表物体到地轴的距离。卫星环绕地球运行的向心加速度所需的向心力由地球对它的全部万有引力提供，计算公式为GMm/r²=ma，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。在例题1中，甲、乙两颗人造地球卫星质量相等，轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则甲距地面的高度比乙小。在例题2中，A、B两颗行星质量之比为M_A/M_B=p，半径之比为A=q，则两行星表面的重力加速度之比为p/q²。在例题3中，有绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C某时刻在同一条直线上，则卫星A的角速度最大。在例题4中，人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则v=2gR。在例题5中，地球公转的轨道半径是R1，周期是T1，月球绕地球运转的轨道半径是R2，周期是T2，则太阳质量与地球质量之比为R1³T2²/(32R2³T1²)。【例6】土星外层有一个环。为了确定它是土星的一部分还是卫星群，可以通过测量环中各层线速度a与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断：A.若v∝R，则该层是土星的一部分；B.若v2∝R，则该层是卫星群；C.若v∝1/R，则该层是土星的一部分；D.若v2∝1/R，则该层是卫星群。【例7】火星与地球的质量之比为P，半径之比为q，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为P/q2。【例8】在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为g/2。【例9】人造地球卫星绕地心做匀速圆周运动，正确的说法是：A.半径越大，速度越小，周期越大；B.半径越大，速度越小，周期越大；C.所有卫星的速度均相同，与半径无关；D.所有卫星的角速度均相同，与半径无关。1.关于第一宇宙速度，不正确的说法是D.它是卫星在椭圆轨道上运动时的近地点速度。2.可在运行的太空舱里进行的实验是C.用测力计测力。3.如图所示的三个人造地球卫星，正确的说