2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）一元二次方程与动点问题（强化）（解析版）

一元二次方程与动点问题【例题精讲】如图所示在中．点从点开始沿边向点以的速度移动点从点开始沿边向点以的速度移动．（1）如果、分别从、同时出发那么几秒后的面积为．（2）如果、分别从、同时出发那么几秒后的长度等于．（3）在（1）中的面积能否等于？说明理由．【解答】解：（1）设秒后的面积为此时由得整理得：解得：或（舍去）．当时说明此时点越过点不合要求舍去．答：1秒后的面积为．（2）由得整理得解方程得：（舍去）．所以2秒后的长度等于；（3）不可能．设整理得方程没有实数根所以的面积为的面积不可能等于．【题组训练】一．选择题（共5小题）1．如图中点从点开始出发向点以的速度移动点从点出发向点以的速度移动若、分别同时从出发秒后四边形是面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．7【解答】解：中是直角三角形由勾股定理得．设秒后四边形是面积的则秒后．根据题意知即解得或（舍去）．故选：．2．在中动点从点沿线段向点移动一动点从点沿线段向点移动两点同时开始移动点的速度为点的速度为当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为则点运动的时间是A． B． C．或 D．或【解答】解：设点运动的时间为则依题意得：整理得：解得：当到达点时两点同时停止运动．故选：．3．如图所示为矩形的四个顶点动点分别从点同时出发点以的速度向移动一直到达为止；点以的速度向移动．当两点从出发开始几秒时点和点的距离是．（若一点到达终点另一点也随之停止运动）A．或 B．或 C． D．或【解答】解：设当、两点从出发开始秒时点和点的距离是此时根据题意得：解得：．答：当、两点从出发开始到2秒或秒时点和点的距离是．故选：．4．如图在中．动点分别从点同时开始移动点的速度为秒点的速度为秒点移动到点后停止点也随之停止运动．下列时间瞬间中能使的面积为的是A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟【解答】解：设动点运动秒后能使的面积为则为为由三角形的面积计算公式列方程得解得（当时不合题意舍去）．动点运动3秒时能使的面积为．故选：．5．如图在矩形中点从点沿边向点以的速度移动；同时点从点沿边向点以的速度移动经过秒后的面积等于则的值为A．1或4 B．1或6 C．2或4 D．2或6【解答】解：设出发秒时的面积等于．化简整理得解得答：2秒或4秒后的面积等于．故选：．二．填空题（共5小题）6．如图中点从点开始沿向点以的速度移动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发经过3秒钟的面积等于面积的．【解答】解：根据题意知．的面积等于面积的则根据三角形的面积公式得解得．故经过3秒钟的面积等于面积的．故答案是：3．7．如图在中动点从点出发沿方向运动速度是；同时动点从点出发沿方向运动速度是则经过10后两点之间相距．【解答】解：设秒后、两点相距则由题意得解得（舍去）则10秒后、两点相距．故答案是：10．8．如图中一动点从点出发沿着方向以的速度运动另一动点从出发沿着边以的速度运动两点同时出发运动2秒时的面积是面积的．【解答】解：整理得解得．即：运动2秒时的面积为面积的．故答案是：2．9．在平面直角坐标系中过原点及点、作矩形的平分线交于点．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒当为2或或时为直角三角形．【解答】解：作于点在中点又根据勾股定理可得：①若则有即：整理得：解得：（舍去）②若则有整理得：解得：．当或或时为直角三角形．故答案为：2或或．10．如图在矩形中点从点出发沿以的速度向点运动同时点从点出发沿以的速度向点运动点到达终点后、两点同时停止运动则2或3秒时的面积是．【解答】解：设运动时间为秒则依题意得：整理得：解得：．或3秒时的面积是．故答案为：2或3．三．解答题（共30小题）11．如图所示在等边三角形中射线点从点出发沿射线以的速度运动同时点从点出发沿射线以的速度运动设运动时间为．（1）连接当经过边的中点时求证：四边形是平行四边形；（2）①当为何值时四边形是菱形；②当为为何值时的面积是的面积的2倍．【解答】（1）证明：如图1经过边的中点四边形是平行四边形；（2）解：①如图2是等边三角形四边形是菱形且点在延长线上由运动知解得：将代入中得符合题意即当时四边形是菱形；②设平行线与的距离为边上的高为的边上的高为的面积是的面积的2倍当点在线段上时解得：；当点在的延长线上时解得：即当为或时的面积是的面积的2倍．12．如图、、、为矩形的四个顶点动点、分别从点、同时出发点以的速度向点移动一直到达为止点以的速度向移动．（1）、两点从出发开始到几秒时四边形的面积为；（2）、两点从出发开始到几秒时点和点的距离是．【解答】解：（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为则根据梯形的面积公式得解之得（2）设两点从出发经过秒时点间的距离是作垂足为则由勾股定理得解得．答：（1）、两点从出发开始到5秒时四边形的面积为；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时点和点的距离是．13．如图在长方形中点以的速度从顶点出发沿折线向点运动同时点以的速度从顶点出发沿向点运动当其中一个动点到达终点时另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时四边形的面积是长方形面积的？（2）是否存在某一时刻使得点与点之间的距离为？若存在求出该时刻；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）设两动点运动秒使四边形的面积是矩形面积的．根据题意得矩形的面积是12．则有解得；（2）设两动点经过秒使得点与点之间的距离为．①当时如图1则有解得或；②当时如图2则有得方程此时△此方程无解．综上所述当或时点与点之间的距离．14．如图在中动点从点出发沿边向点以的速度移动同时动点从点出发沿边向点以的速度移动当运动到点时、两点同时停止运动设运动时间为．（1）；；（用的代数式表示）（2）是的中点连接、为何值时的面积为？【解答】解：（1）根据题意得：所以故答案是：；；（2）如图过点作于即．．又是的中点是的中位线．．根据题意得整理得．解得：即当或4时的面积是．15．如图在中点从点开始沿向点以的速度运动点从点开始沿向点以的速度运动同时出发各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中设它们的运动时间为．（1）下列说法正确的是②．（填写所有正确结论的序号）①可以平分的周长；②可以平分的面积．（2）当为何值时的面积等于？【解答】解：（1）由勾股定理得：当时（舍当时解得或（舍时可以平分的面积故答案为：②；（2）①由题意知：解得：或7（舍去）当时的面积等于．当点停止时综上：或．16．如图中点从沿边向点以的速度移动在点停止点从点开始沿边向点以的速度移动在点停止．（1）如果点分别从、同时出发经过2秒钟后8；（2）如果点从点先出发点再从点出发问点移动几秒钟后？（3）如果点、分别从、同时出发经过几秒钟后？【解答】解：（1）由题意得答：、同时出发经过．故答案是：8；（2）设出发时则运动的时间为秒由题意得：解得：因此经4秒点离点点离点符合题意．答：先出发再从出发后．（3）设经过秒钟后则解得（不合题意舍去）答：经过秒钟后．17．如图在中点从点开始沿射线向点以的速度移动与此同时点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发运动的时间为当点运动到点时两点停止运动．（1）当点在线段上运动时、两点之间的距离．（用含的代数式表示）（2）在运动的过程中是否存在某一时刻使得的面积是面积的．若存在求的值；若不存在说明理由．【解答】解：（1）中中又点从点开始沿射线向点以的速度移动当点在线段上运动时、两点之间的距离；故答案为：；（2）的面积为①当时即△该一元二次方程无实数根该范围下不存在；②当时即解得或（舍去）综上所述存在当时的面积是面积的．18．如图已知正方形的边长为动点从点出发以的速度沿方向向点运动动点从点出发以的速度沿方向向点运动若、两点同时出发运动时间为．（1）连接、、求当为何值时的面积为？（2）当点在上运动时是否存在这样的使得是以为一腰的等腰三角形？若存在请求出符合条件的的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）当在上时如图：根据题意得整理得解得．当在上时此时答：当为1秒或秒时的面积为．（2）①当时根据勾股定理得解得（不符合题意舍去）．②当时根据勾股定理得整理得：解得（不符合题意舍去）．答：存在这样的秒或秒使得是以为一腰的等腰三角形．19．如图在矩形中动点从点出发以的速度沿向点移动同时点从点出发以的速度沿向点移动（点到达点停止时点也随之停止运动）设点运动时间为秒．（1）试求当为何值时四边形为矩形；（2）、两点出发多长时间线段的长度为．【解答】解：（1）四边形为矩形．（2）过点作于点四边形是矩形．在中即解得答：当出发或时线段的长度为．20．如图在中．现有动点从点出发沿向点方向运动动点从点出发沿线段向点方向运动如果点的速度是点的速度是它们同时出发当有一点到达所在线段的端点时就停止运动．设运动的时间为的面积．（1）用含的代数式表示．（2）当运动多少秒时的面积等于？【解答】解：（1）由题意得：；（2）当时解得：即当或时的面积等于．21．如图已知等边三角形的边长为点从点出发沿的方向以的速度向终点运动同时点从点出发沿的方向以的速度向终点运动．当点运动到点时两点均停止运动．运动时间记为请解决下列问题：（1）若点在边上当为何值时为直角三角形？（2）是否存在这样的值使的面积为？若存在请求出的值若不存在请说明理由．【解答】解：（1）是等边三角形当点在边上时由题意知当时即解得当时即解得所以点在边上当为或时为直角三角形；（2）存在①当点在边上时此时过点作于点在中即由得；②当点在边上时此时如图过点作于点在中即由得（不合题意舍去）因此当的值是或时的面积为．22．如图1在中现有动点从点出发沿射线方向运动动点从点出发沿射线方向运动已知点的速度是点的速度是它们同时出发设运动时间是．（1）当时求的面积．（2）经过多少秒时的面积是面积的一半．【解答】解：（1）点的速度是点的速度是当时．（2）设经过秒的面积是面积的一半．根据题意得：当时如图整理得解得（舍去）或．当时如图整理得△无解．当时如图整理得解得或（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒的面积是面积的一半．23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数试求二次三项式最小值．解：无论取何实数总有．即的最小值是．即无论取何实数的值总是不小于的实数．问题：（1）已知求证是正数．知识迁移：（2）如图在中点在边上从点向点以的速度移动点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发且当一点移动到终点时另一点也随之停止设的面积为运动时间为秒求的最大值．【解答】证明：（1）．．．．是正数．（2）由题意：．．．．当时有最大值．24．如图在中．点从点出发沿边以的速度向点移动；点从点同时出发沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后两点的距离是？【解答】解：设经过秒后两点的距离是根据题意得整理得解得．当时符合题意答：秒或2秒后两点间的距离等于．25．如图在边长为的等边三角形中点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动．若、分别从、同时出发其中任意一点到达目的地后两点同时停止运动求：（1）经过6秒后6；（2）经过几秒后是直角三角形？（3）经过几秒的面积等于？【解答】解：（1）由题意得．是等边三角形．故答案为：6、12．（2）是等边三角形当时．当时答6秒或秒时是直角三角形；（3）作于在中由勾股定理得解得；时故舍去．答：经过2秒的面积等于．26．已知：如图是边长为的等边三角形动点、同时从、两点出发分别沿、方向匀速移动它们的速度都是当点到达点时、两点停止运动设点的运动时间解答下列各问题：（1）经过秒时求的面积；（2）当为何值时是直角三角形？（3）是否存在某一时刻使四边形的面积是面积的三分之二？如果存在求出的值；不存在请说明理由．【解答】解：（1）经过秒时是边长为的等边三角形的面积；（2）设经过秒是直角三角形则中中若是直角三角形则或当时即（秒当时（秒答：当秒或秒时是直角三角形．（3）过作于中与的关系式为假设存在某一时刻使得四边形的面积是面积的则方程无解无论取何值四边形的面积都不可能是面积的．27．如图在矩形中点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中只要有一点到达终点则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中的面积能否等于？若能需运动多长时间？若不能请说明理由．【解答】解：（1）点从开始到运动停止用的时间为：点从开始到运动停止用的时间为：只要有一点到达终点则另一点运动立即停止点先到终点此时点离终点的距离是：答：点先到终点此时点离终点的距离是；（2）在运动过程中的面积能等于当从点运动到点的过程中设点运动时间为的面积能否等于解得此方程无解；当点从到的过程中设点运动的时间为的面积能否等于解得（舍去）即需运动的面积能等于．28．如图①在矩形中．点从点出发沿运动速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动速度为每秒1个单位长度．、两点同时出发点运动到点时两点同时停止运动设点的运动时间为（秒．连接、、、．（1）点到点时6；当点到终点时的长度为；（2）用含的代数式表示的长；（3）当三角形的面积为9时求的值．【解答】解：（1）在矩形中点到点时所走路程为当点到终点时点回到中点；（2）当时；当时；当时；（3）当时（舍去）当时当时（舍弃）综上所述当三角形的面积为9时或．29．如图已知直线的函数解析式为点从点开始沿方向以1个单位秒的速度运动点从点开始沿方向以2个单位秒的速度运动．如果、两点分别从点、点同时出发经过多少秒后能使的面积为8个平方单位？【解答】解：直线的函数解析式为点点．设运动时间为则根据题意得：解得：（舍去）．经过2秒、4秒或秒后能使的面积为8个平方单位30．如图所示在中（1）点从点开始沿边向点以的速度移动点从点开始沿边向点以的速度移动如果点分别从同时出发经过几秒钟后的面积等于？（2）如果点分别从同时出发并且点在边上沿的路线以的速度移动点在边上沿的路线以的速度移动求经过几秒钟后的面积等于．【解答】解：（1）设经过秒后的面积等于．由题意得：解得：答：经过2秒或4秒后的面积等于．（2）设经过秒后的面积等于．分三种情况：①当时则由题意得：解得：或（不合题意舍去）；②当时则由题意得：整理得：此方程无解；③当时则由题意得：解得：（不合题意舍去）或；综上所述经过2秒或8秒钟后的面积等于．31．如图在梯形中．动点从点出发沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发当点运动到点时点随之停止运动．设运动时间为当为何值时以三点为顶点的三角形为等腰三角形？【解答】解：如图1当时作于．．解得：．如图2当时作于四边形是矩形．在中由勾股定理得．解得：；如图3当时作于在中△故方程无解．综上所述或时以三点为顶点的三角形为等腰三角形．32．如图正方形的边长为点从开始沿折线以的速度移动点从开始沿边以的速度移动如果点、分别从、同时出发当其中一点到达时另一点也随之停止运动．设运动时间为．（1）为何值时为直角三角形；（2）①设面积为写出与的函数关系式；②为何值时面积为正方形面积的？【解答】解：（1）要使为直角三角形则需或即或或或．（2）①当时；当时②时面积为正方形面积的．33．如图已知、、、为矩形的四个顶点动点、分别从点、同时出发点以的速度向点移动一直到点为止点以的速度向点移动．设移动时间为问（1）当为何值时、两点间的距离是？（2）当为何值时、两点间距离最小？最小距离为多少？（3）、两点间距离能否是？若能求出的值；若不能请说明理由．【解答】解：（1）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．则作于则解得：或答：、出发1.6和4.8秒时间的距离是10厘米；（2）当时即时最小最小为6；（3）、两点间距离不能是．34．如图所示在中．点从点开始沿边向点以的速度移动点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点则同时停止运动．（1）如果、分别从、同时出发那么几秒后的面积为．（2）如果、分别从、同时出发那么几秒后的长度等于．（3）在（1）中的面积能否等于？说明理由．【解答】解：（1）设秒后的面积为此时由得整理得：解得：或（舍去）．当时说明此时点越过点不合要求舍去．答：1秒后的面积为．（2）由得整理得解方程得：（舍去）．所以2秒后的长度等于；（3）不可能．设整理得方程没有实数根所以的面积为的面积不可能等于．35．（A）如图1在中点、、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速移动它们的速度都是几秒后的面积为面积的一半？（B）如图2中一动点从出发沿着方向以的速度运动另一动点从出发沿着方向以的速度运动、两点同时出发运动时间为．（1）当为几秒时的面积是面积的？（2）的面积能否为面积的一半？若能求出的值；若不能说明理由．【解答】解：（A）设经过秒后的面积是面积的一半则：解得（舍去）．答：秒后的面积是面积的一半；（B）（1）整理得解得．答：当时的面积为面积的；（2）当时整理得△此方程没有实数根的面积不可能是面积的一半．36．如图在中点从出发沿射线以的速度做直线运动点从出发沿边的延长线以的速度做直线运动．如果分别从