2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）二次函数的应用（基础）（解析版）

二次函数的应用目录一般式求解析式 1两点式求解析式 3顶点式求解析式 5二次函数与x轴的交点问题 7二次函数与最值 10二次函数与销售问题 11二次函数应用题 15二次函数与面积最值 18一般式求解析式一般式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)二次函数的图象经过两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【解答】解：把代入中得②①得解得：把代入①中得解得：这个二次函数的解析式二次函数对称轴是直线由二次函数的顶点坐标公式可得二次函数顶点坐标：即．二次函数的解析式对称轴是直线顶点坐标是．已知抛物线经过三点（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴．【解答】解：（1）设抛物线解析式为．把代入得解得．故该抛物线解析式为：或．（2）．抛物线的顶点坐标是对称轴是直线．已知二次函数的图象经过、三点．（1）求该函数解析式；（2）用配方法将该函数解析式化为的形式．【解答】解：（1）二次函数的图象经过、三点解得该函数解析式为；（2）．已知：二次函数的图象经过点和．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点的坐标；（2）设点在该抛物线上若直接写出的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线解析式为把和代入得解得：抛物线解析式为顶点的坐标为；（2）抛物线的对称轴为直线关于直线的对称点为在该抛物线上且．两点式求解析式交点式：交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)已知二次函数的图象经过点、．（1）求二次函数的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、．二次函数的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为直线顶点坐标为．已知：抛物线经过、两点顶点为．求：（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为所以；（2）因为则点坐标为所以的面积．二次函数的图象经过三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求函数顶点的坐标；（3）当时直接写出的取值范围．【解答】解：（1）二次函数的图象经过三点设二次函数的解析式为把代入得解得：．抛物线解析式为；（2）二次函数顶点坐标为；（3）抛物线开口向下对称轴为直线当时函数有最大值把代入得当时的取值范围是．如图抛物线分别经过点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求当时自变量的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线解析式为把代入得解得所以抛物线的解析式为即；（2）把代入得解得或交点为抛物线开口向下当时自变量的取值范围为．顶点式求解析式顶点式：顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)已知二次函数的图象以点为顶点且过点．（1）求该函数的解析式；（2）直接写出随的增大而增大时自变量的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线解析式为把代入得解得所以抛物线解析式为即；（2）抛物线开口向下对称轴为直线随的增大而增大时自变量的取值范围是．已知某二次函数的图象的顶点为且过点．（1）求此二次函数的关系式．（2）判断点是否在这个二次函数的图象上并说明理由．【解答】解：（1）由顶点可设抛物线为：将点代入上式可得：解得所以二次函数的关系式．（2）点不在这个二次函数的图象上理由如下：把代入得点不在这个二次函数的图象上．已知抛物线的顶点坐标为且过点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）直接写出该抛物线的开口方向及对称轴．【解答】解：（1）抛物线顶点坐标设抛物线解析式为抛物线经过点解得：则该抛物线解析式为；（2）抛物线解析式为该抛物线的开口向上对称轴为直线．已知抛物线的对称轴为直线且过点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线抛物线解析式为抛物线过解得抛物线解析式为；（2）抛物线为抛物线的开口向下顶点为．二次函数与x轴的交点问题判别式情况b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根抛物线与轴只有一个公共点则的值为A． B． C． D．4【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点方程有两个相等的实数根△．故选：．二次函数与轴有两个不同的交点的值可以是A． B． C． D．【解答】解：令则△二次函数图象与轴由两个不同交点即或．故选：．二次函数的图象与轴交点的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【解答】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点故选：．二次函数的图象与轴的交点个数是A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定【解答】解：由二次函数知抛物线与轴只有两个公共点．故选：．已知二次函数与轴有交点则的取值范围是A． B． C．且 D．且【解答】解：令则△当时即时图象与轴有交点且故选：．已知二次函数的图象与轴只有一个公共点则的值为A．4 B．2 C．0 D．【解答】解：二次函数的图象与轴只有一个公共点△解得．故选：．若抛物线与轴只有一个交点则的值为A． B．0 C．1 D．2【解答】解：抛物线与轴只有一个交点△解得故选：．已知抛物线是常数）与轴只有唯一的交点则的值为A． B．1 C．或1 D．或7【解答】解：抛物线是常数）与轴只有唯一的交点△．的值为或故选：．二次函数与最值已知二次函数当时函数的最大值与最小值的差为A．4 B．5 C．8 D．9【解答】解：二次函数该函数图象开口向上对称轴是直线当时该函数取得最大值此时当时该函数取得最小值此时当时函数的最大值与最小值的差为9故选：．已知二次函数当时有最小值7最大值11则的值为A．3 B．9 C． D．【解答】解：二次函数该二次函数的图象的对称轴为直线当时；当时；当时函数的最值为和当时有最小值7最大值11即故选：．已知二次函数当时则函数的最小值和最大值为A．和5 B．和5 C．和 D．和5【解答】解：二次函数该函数图象开口向上当该函数取得最小值当时该函数取得最小值；当时该函数取得最大值此时；故选：．已知二次函数关于该函数在的取值范围内下列说法正确的是A．有最大值4有最小值0 B．有最大值0有最小值 C．有最大值4有最小值 D．有最大值5有最小值【解答】解：二次函数该函数的对称轴是直线函数图象开口向下当时时取得最大值5当时取得最小值故选：．二次函数与销售问题某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件第一批花了6600元第二批花了8000元第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件经市场调查发现当售价为每个60元时每周能卖出40个若每降价1元每周多卖10个由于货源紧缺每周最多能卖90个求每个挂件售价定为多少元时每周可获得最大利润最大利润是多少？【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为元则第一批每个挂件的进价为元根据题意可得解得．经检验是原分式方程的解且符合实际意义．第二批每个挂件的进价为40元．（2）设每个售价定为元每周所获利润为元根据题意可知当时随的增大而减小当时取最大此时．当每个挂件售价定为58元时每周可获得最大利润最大利润是1080元．2022年广西雨水增多种植荔枝的果农损失严重为了增加农民收入助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售已知荔枝的种植成本为8元经市场调查发现今年端午节期间荔枝的销售量（单位：与销售单价（单位：元满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息求与的函数关系式；（2）当销售单价为30元时销售荔枝获得的利润是多少元？（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．【解答】解：（1）当时设则解得：当时当时．（2）当时当荔枝的销售单价定为30元千克时荔枝的销售量为126千克；（3）设利润为则：当时开口向下对称轴为直线当时随的增大而增大时当时随的增大而增大时最大利润为3840元．某工厂开发生产一种新产品设生产的产品数量为（件．总销售额为（元且与之间满足正比例函数关系当时；总成本为（元与之间关系满足下表．产品数量（件1234总成本（元15025150501507515100（1）分别求出、与之间的函数关系式；（2）设工厂的总利润为（元求与的函数关系式；（3）至少生产并销售多少件产品后工厂才不会亏损．【解答】解：（1）与之间满足正比例函数关系当时；设与之间关系为将代入得：解得；答：；（2）根据题意得：；答：；（3）当即时工厂才不会亏损解得答：至少生产并销售1000件产品后工厂才不会亏损．东平湖景区在2021年春节长假期间共接待游客达20万人次预计在2023年春节长假期间将接待游客达28.8万人次．（1）求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；（2）景区一奶茶店销售一款奶茶每杯成本价为6元根据销售经验在旅游旺季若每杯定价25元则平均每天可销售300杯若每杯价格降低1元则平均每天可多销售30杯店家决定进行降价促销活动则当每杯售价定为多少元时既能让顾客获得最大优惠又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率是根据题意得：解得答：景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率是；（2）设每杯售价定为元根据题意得：解得或让顾客获得最大优惠取20答：当每杯售价定为20元时既能让顾客获得最大优惠又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．二次函数应用题如图要建一个矩形仓库一边靠墙（墙长并在边上开一道宽的门现在可用的材料为长的木板．（1）若仓库的面积为150平米求．（2）当仓库的面积最大时求并指出仓库的最大面积．【解答】解：（1）设的长为则根据题意得解得：当时当时（不合题意舍去）；（2）设仓库的面积为平方米根据题意得当时答：当时仓库的最大面积为200平方米．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校准备在校园里利用围墙（墙长和长的篱笆墙围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外实线部分为篱笆墙且不浪费篱笆墙）请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①全部利用围墙的长度但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为试分别确定、的长；（2）方案二：如图②使围成的两块矩形总种植面积最大请问应设计为多长？此时最大面积为多少？【解答】解：（1）Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为设水池的长为则水池的面积为解得即的长为、的长为；（2）设长为则长度为总种植面积为当时总种植面积有最大值为即应设计为总种植面积最大此时最大面积为．如图学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃墙长为16米．（1）若矩形的面积为144平方米求矩形的边的长．（2）要想使花圃的面积最大、边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？【解答】解：（1）设为米则米由题意得：解得：墙长为16米36米的篱笆答：矩形的边的长为12米；（2）设为米矩形的面积为平方米则米且故抛物线开口向下当时有最大值是160答：边的长应为10米时有最大面积且最大面积为160平方米．如图某农户准备围成一个长方形养鸡场养鸡场靠墙米）另三边利用现有的36米长的篱笆围成若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门且篱笆没有剩余．（1）若围成的养鸡场面积为120平方米则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有求出这个最大值；若没有请说明理由．【解答】解：（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是米则与墙平行的边长是．即米．根据题意得：整理得解得．当时符合题意．当时符合题意．答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米则与墙平行的边长为6米．（2）存在理由如下：根据（1）中条件可知当时的最大值为此时符合题意当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为米则与墙平行的边长为17米时面积的最大值为平方米．二次函数与面积最值如图抛物线．与轴交于两点与轴交于直线经过点且与抛物线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若是位于直线上方的抛物线上的一个动点连接求的面积的最大值．【解答】解：（1）直线经过点令则将代入得：解得：抛物线的解析式为：；（2）解得：过点作轴交于设则的面积当时的面积最大且最大值是．如图已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点直线与轴交于点抛物线的对称轴为直线交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上、之间的一点连接、当面积最小时求点的坐标．【解答】解：（1）令根据题意得：．抛物线的对称轴为直线．解得．抛物线解析式为；（2）联立方程组解得．．设．顶点坐标为对称轴为直线．令时解得．．．．开口向上．当时故．如图抛物线过点、、连结、点以每秒1个单位长的速度从点运动到点．同时点以相同的速度从点出发沿着射线运动点到达点时、两点同时停止运动设点运动时间为．（1）求抛物线的解析式；（2）点运动过程中的面积为．求与的函数关系并求出的最大值．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为解得；（2）过点作轴交于点过作作轴交于点当时当时有最大值；当时当时有最大值2；综上所述：；；的最大值为21．据省统计局公布的数据合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币若我市第三季度总值为千亿元人民币平均每个季度增长的百分率为则关于的函数表达式是A． B． C． D．【解答】解：根据题意得关于的函数表达式是：．故选：．2．已知的图象如图所示对称轴为直线．若是一元二次方程的两个根且则下列说法正确的是A． B． C． D．【解答】解：是一元二次方程的两个根、是抛物线与轴交点的横坐标抛物线的对称轴为直线即故选项错误；解得：故选项正确；抛物线与轴有两个交点故选项错误；抛物线开口向下抛物线的对称轴为直线故选项错误；故选：．3．将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方图象的其余部分不变得到一个新图象若直线与这个新图象有4个交点则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：如图所示过点的直线与新图象有三个公共点将直线向下平移到恰在点处相切此时与新图象也有三个公共点令解得：或6即点坐标将一次函数与二次函数表达式联立得：整理得：△解得：当一次函数过点时将点坐标代入：得：解得：综上直线与这个新图象有4个公共点则的值为；故选：．4．在求解方程时先在平面直角坐标系中画出函数的图象观察图象与轴的两个交点这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解分析图中的信息方程的近似解是A． B． C． D．【解答】解：由图象可知抛物线与轴的交点接近和方程的近似解是故选：．5．若二次函数在时的最大值为5则的值是A．或6 B．或6 C．或6 D．或【解答】解：抛物线开口向下抛物线的对称轴为①当即时当时函数最大值为5解得：；②当即时当时函数最大值为5解得：．③当即时当时函数最大值为5解得（舍去）或（舍去）综上所述或故选：．6．已知抛物线的顶点为有下列结论：①当时抛物线与直线没有交点；②若抛物线与轴有两个交点则其中一定有一个交点在点与之间；③若点在点所围成的三角形区域内（包括边界）则．其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由消去得到△△的值可能大于0抛物线与直线可能有交点故①错误．抛物线与轴有两个交点△抛物线经过且时抛物线与轴一定有一个交点在与之间．故②正确抛物线的顶点在点围成的三角形区域内（包括边界）且解得故③正确故选：．7．在羽毛球比赛中某次羽毛球的运动路线呈抛物线形羽毛球距地面的高度与水平距离之间的关系如图所示点为落地点且羽毛球到达的最高点到轴的距离为那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为A． B． C． D．【解答】解：由已知得：抛物线对称轴为直线设抛物线解析式为解得抛物线解析式为；令得羽毛球到达最高点时离地面的高度为故选：．8．已知二次函数在时取得的最大值为15则的值为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：二次函数抛物线的对称轴为顶点当时当时解得或当时的最大值为15故选：．二．填空题（共4小题）9．二次函数最小值为．【解答】解：根据二次函数的性质可知二次函数最小值为故答案为：．10．已知关于的一元二次方程的两个根分别是1和若二次函数与轴有两个交点其中一个交点坐标是则另一个交点坐标是．【解答】