2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 最值问题（强化）（解析版）

最值问题【例题精讲】如图在矩形中已知点是边上一动点（点不与重合）连接作点关于直线的对称点则线段的最小值为A．2 B． C．3 D．【解答】解：连接点和关于对称在以圆心3为半径的圆上当三点共线时最短故选：．如图已知点是上一点直线过点点是上的另一点点是的中点若点是上的一个动点且时求的面积的最大值．【解答】解：连接；是的中点且又；过点作于延长交圆于点则是的边上的最大的高；在中的面积的最大值为．【题组训练】一．选择题（共8小题）1．如图的半径为2圆心的坐标为点是上的任意一点且、与轴分别交于、两点若点、点关于原点对称则的最小值为A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：若要使取得最小值则需取得最小值连接交于点当点位于位置时取得最小值过点作轴于点则、又故选：．3．如图点半径为2点是上的动点点是的中点则的最小值是A．1.4 B． C． D．2.6【解答】解：如图连接交于连接由勾股定理得：当最小时最小当运动到时最小此时的最小值故选：．4．如图抛物线与轴交于、两点是以点为圆心2为半径的圆上的动点是线段的中点连接则线段的最大值是A．3 B． C． D．4【解答】解：连接如图当时解得则是线段的中点为的中位线当最大时最大而过圆心时最大如图点运动到位置时最大线段的最大值是．故选：．5．如图是的弦点是优弧上的动点不与、重合）垂足为点是的中点．若的半径是3则长的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：垂足为点是的中点．的最大值是直径的长的半径是3的最大值为3故选：．6．如图点的坐标分别为点为坐标平面内一点点为线段的中点连接则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：如图点为坐标平面内一点在上且半径为1取连接是的中位线当最大时即最大而三点共线时当在的延长线上时最大即的最大值为；故选：．7．如图中是内部的一个动点且满足则线段长的最小值为A． B．2 C． D．【解答】解：（直角三角形斜边中线等于斜边一半）点在以为直径的上连接交于点此时最小在中．最小值为2．故选：．8．如图在平面直角坐标系中半径为2为上任意一点是的中点则的最小值是A．1 B． C．2 D．【解答】解：如图连接取的中点连接．点的运动轨迹是以为圆心半径为1的圆的最小值故选：．二．填空题（共12小题）9．如图在直角坐标系中⊙A的圆心A的坐标为（﹣10）半径为1点P为直线y＝﹣x+3上的动点过点P作⊙A的切线切点为Q则切线长PQ的最小值是2．【解答】解：如图作AP⊥直线y＝﹣x+3垂足为P作⊙A的切线PQ切点为Q此时切线长PQ最小∵A的坐标为（﹣10）设直线与x轴y轴分别交于CB∴B（03）C（40）∴OB＝3AC＝5∴BC＝＝5∴AC＝BC在△APC与△BOC中∴△APC≌△BOC（AAS）∴AP＝OB＝3∴PQ＝＝2．∵PQ2＝PA2﹣1此时PA最小所以此时切线长PQ也最小最小值为2．10．如图在平面直角坐标系中已知点为平面内的动点且满足为直线上的动点则线段长的最小值为．【解答】解：取的中点过点作直线的垂线垂足为点点在以为直径的圆上线段长的最小值为．故答案为：．11．在中若为边的中点则必有：成立．依据以上结论解决如下问题：如图在矩形中已知点在以为直径的半圆上运动则的最小值为10．【解答】解：设点为的中点点为的中点连接交半圆于点此时取最小值．四边形为矩形．故答案为：10．12．如图中是内部的一个动点且满足则线段的最小值为2．【解答】解：点在以为直径的上当、、共线时最小在中．最小值为2．故答案为：2．13．如图是半圆的直径点在半圆上是弧上的一个动点连接过点作于连接在点移动的过程中的最小值是．【解答】解：连接取的中点连接点在以为圆心为半径的圆上当、、三点共线时最小是直径在中故答案为：．14．在中若．则的面积的最大值为．【解答】解：作的外接圆过作于弦已确定要使的面积最大只要取最大值即可如图所示当过圆心时最大过（垂径定理）．故答案为：．15．如图等边三角形的边长为4的半径为为边上一动点过点作的切线切点为则的最小值为3．【解答】解：连接、作于如图等边三角形的边长为4为的切线在中点是边上一动点当点运动到点时最小即的最小值为的最小值为故答案为：3．16．如图、是半径为5的的两条弦是直径于点于点为上的任意一点则的最小值为．【解答】解：连接作垂直于．根据垂径定理得到在直角中根据勾股定理得到则的最小值为．故答案为：17．如图已知点为半圆上一点的度数为点为上任意一点交于点连接若则的最小值是．【解答】解：如图的度数是点的运动轨迹是连接．是直径的最小值为．18．如图在中弦点在上移动连接过点作交于点则的最大值为．【解答】解：连接如图当的值最小时的值最大而时最小此时、两点重合即的最大值为故答案为：．19．如图是的弦点是上的一个动点且若点、分别是、的中点则的最大值是．【解答】解：点分别是的中点当取得最大值时就取得最大值当是直径时最大连接并延长交于点连接是的直径．．故答案为：．20．如图以为圆心半径为2的圆与轴交于、两点与轴交于两点点为圆上一动点于当点在圆的运动过程中线段的长度的最小值为．【解答】解：作于连接．在中点在以为直径的上当点在的延长线上时的长最小最小值．故答案为：．三．解答题（共10小题）21．在中直径是弦点在上点在上且．（1）如图1当时求的长度；（2）如图2当点在上移动时求长的最大值．【解答】解：（1）连接如图1在中在中；（2）连接如图2在中当的长最小时的长最大此时则长的最大值为．22．如图是的直径点、是上的点且分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若求的长；（3）若的半径为5点是线段上任意一点试求出的最小值．【解答】（1）是的直径即点为的中点；（2）解：而为的中位线；（3）解：作点关于的对称点交于连接如图此时的值最小点和点关于对称作于如图则则在中的最小值为．23．已知是的直径点在的半径上运动垂足为为的切线切点为．（1）如图（1）当点运动到点时求的长；（2）如图（2）当点运动到点时连接、求证：；（3）如图（3）设求与的函数关系式及的最小值．【解答】（1）解：连接由勾股定理得；（2）证明：连接为的切线平分劣弧；（3）解：设交于点延长线交于点由相交弦定理得由切割线定理得．24．如图的直径半径为弧上一动点（不包括、两点）垂足分别为．．（1）求的长．（2）若点为的中点①求弧的度数．②若点为直径上一动点直接写出的最小值．【解答】解：（1）连接的直径圆的半径为四边形是矩形；（2）①点为的中点弧的度数为；②延长交于连接交于则的最小值的最小值为．25．如图、、、是上的四个点．（1）求证：；（2）若点是劣弧上一动点（异于、、是关于的一元二次方程的两根求的最大值．【解答】证明：（1）在上截取如图又是等边三角形即．又在和中又（2）由（1）可知、是方程的两根要使有最大值则最大即为的直径连并延长交于点连接则的最大值为4．26．如图平面直角坐标系中矩形如图放置点分别为边上的中点动点从点出发以每秒2个单位速度沿方向向点运动同时动点从点出发以每秒1个单位速度沿方向向点运动．当一个点到达终点时另一个点随之停止．连接、且与相交于点连接．（1）求线段的长度；（2）过点作垂足为点连接求线段长度的最小值．【解答】解：（1）设运动时间为秒．则．四边形是矩形．．在中．（2）由题意点在以为直径的的圆上运动连接．的最小值为．27．如图在中于点于点以点为圆心为半径作半圆交于点．（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下点是边上的动点当取最小值时直接写出的长．【解答】（1）证明：作于如图于点平分是的切线；（2）解：点是的中点而图中阴影部分的面积；（3）解：作点关于的对称点连接交于如图此时最小而即最小值为在中在中即当取最小值时的长为．28．在中直径是弦点在上点在上且．（1）如图当时求的长；（2）当点在上移动时线段长的最大值为；此时的度数为．【解答】解：（1）解：（1）连接如图1在中在中；（2）连接如图2在中当的长最小时的长最大此时则