2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 圆的证明综合（强化）（解析版）

圆的证明综合【例题精讲】如图四边形为菱形以为直径作交于点连接交于点是上的一点且连接．（1）求证：是的切线．（2）若求的半径．【解答】（1）证明：如图1连接四边形为菱形即是的直径是的半径是的切线；（2）解：如图2连接是的直径在和中．的半径为．如图已知是外一点交于点弦劣弧的度数为连接．（1）求的长；（2）求证：是的切线．【解答】（1）解：连接弦劣弧的度数为弧与弧的度数为：是等边三角形；（2）证明：是等边三角形点在上是的切线．【题组训练】1．如图为的切线为切点过点作垂足为点交于点延长与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若求的长．【解答】（1）证明：连接是的切线在与中是半径是的切线；（2）解：在中、为的切线在中即在中．2．如图在中是的直径是的弦垂足为．过点作的切线与的延长线交于点．若求的度数．【解答】解：连接是的直径是的切线故的度数为．6．如图是的直径点和点是上的两点过点作的切线交延长线于点．（1）若求的度数；（2）若求半径的长．【解答】解：（1）连接是的切线是的半径；（2）设的半径为解得：的半径为2．7．如图是的直径点在的延长线上、是上的两点延长交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）求证：；【解答】解：（1）连接如右图所示是的直径是的切线；（2）又；10．如图在中的平分线交于点过点作直线的垂线交于点是的外接圆．（1）求证：是的切线；（2）过点作于点求证：平分；（3）求证：．【解答】（1）证明：如图连接．是圆的直径平分是的切线；（2）证明：是是直径平分．（3）证明：如图连接．是的平分线于于．11．如图是的直径过点作的切线弦交于点且连接延长交于点．（1）求证：是等边三角形；（2）连接若求的长．【解答】（1）证明：是的直径是的切线是等边三角形；（2）解：连接过作于由（1）知是等边三角形设的半径为：在与中即．12．如图在中以为直径的交于点过点作的切线交于点的反向延长线交于点．（1）求证：；（2）若的半径为10求的长度．【解答】（1）证明：．是的切线是半径；（2）如图过点作于点则四边形是矩形．设．．在中由勾股定理知：即解得（不合题意舍去）．．．13．如图内接于是的直径交于点过点作交的延长线于点连接．（1）求证：是的切线；（2）已知求的长．【解答】（1）证明：是的直径即即又是的半径是的切线；（2）解：．14．如图内接于是的直径点是延长线上的一点且．（1）求证：是的切线；（2）若求的半径．【解答】（1）证明：连接．又又是的切线；（2）解：过点作于点．在中在中．在中的半径为．15．如图是的直径点是上两点且连接过点作交延长线于点垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若求的半径．【解答】（1）证明：连接如图是的切线；（2）解：连接如图为直径在中在中的半径为4．16．如图中以为直径作半圆交与点点为的中点连接．（1）求证：是半圆的切线．（2）若求的长．【解答】（1）证明：连接为圆的直径在中为斜边的中点在和中则为圆的切线；（2）在中又为等边三角形即则．17．如图在中是边上一点以为直径的经过点且．（1）请判断直线是否是的切线并说明理由；（2）若求弦的长．【解答】解：（1）直线是的切线理由如下：如图连接为的直径又又是半径直线是的切线；（2）方法一、过点作于．方法二、．18．如图在中于点是上一点以为直径的交于点连接且．（1）求证：是的切线；（2）若求的长．【解答】（1）证明：又是的切线；（2）解：连接、为的直径．20．如图是的直径点在上且点是外一点与相切于点连接过点作交于点连接交于点．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若连接求的长．【解答】（1）证明：是的直径又为的中点为的中点为的中位线；（2）证明：如图所示：连接在与中又是的切线又是半径是的切线；（3）解：是的直径过点作于点．21．如图在中点在边上经过点和点且与边相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若求的半径．【解答】（1）证明：连接是的切线；（2）解：连接是等边三角形的半径．22．如图为的直径为上一点弦的延长线与过点的切线互相垂直垂足为连接．（1）求的度数；（2）若求的长．【解答】解：（1）连接如图是的切线为的直径；（2）连接的直径的长为：．23．已知：如图中以为直径的交于点于点．（1）求证：是的切线；（2）若求的值．【解答】（1）证明：是的切线；（2）解：连接如图为直径在中．24．如图在中的平分线交于点过点作的垂线交于点是的外接圆．（1）求证：是的切线．（2）过点作于点求证：．【解答】证明：（1）如图1连接．是圆的直径．平分是的切线；（2）如图2连接．于于．．在与中．25．如图是的直径点、在上且平分过点作的垂线与的延长线相交于与的延长线相交于点为的下半圆弧的中点交于连接、．（1）证明是的切线；（2）求证：；（3）已知圆的半径求的长．【解答】解：（1）证明：连接又平分又是的切线；（2）是的直径由（1）得是的切线又（3）连接是半圆弧中点在中．．26．如图在中以斜边上的中线为直径作与、分别交于点、与的另一个交点为．过点作垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若求弦的长．【解答】（1）证明：连接．如图所示：在中是边的中线又过半径的外端是的切线；（2）解：过点作垂足为如图2所示：设的半径为．四边形为矩形．在中即．且过圆心．28．如图在中点在边上以为直径作交于点连接且．（1）求证：是的切线；（2）若求的半径．【解答】（1）证明：如图连接是的直径即．是的半径是的切线；（2）解：在中设的半径为则在中解得或（舍去）．的半径为3．30