2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 二次函数与线段最值（强化）（解析版）

二次函数与线段最值【例题精讲】如图二次函数图象与轴交于点、与轴交于点抛物线的顶点坐标是且经过点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得最短？若存在求点的坐标；若不存在请说明理由；（3）连接、、求四边形的面积．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为抛物线经过点解得抛物线的函数解析式为；（2）存在求解过程如下：二次函数的对称轴为直线当时有解得或点关于对称轴对称的点的坐标为由对称性得：则由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时最短设直线的函数解析式为把代入得：解得取则；（3）由（1）得如图过点作平行轴交于点设的解析式为把点和代入得：解得：取则解得四边形的面积为30．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点且．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上一点那么在抛物线的对称轴上是否存在一点使得的周长最小？若存在请求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把点分别代入得：．解得．抛物线的解析式为；（2）连接交对称轴于点则为所求的点设直线的解析式为．．解得．直线的解析式为．对称轴为直线：．当时．点的坐标为．【题组训练】2．如图二次函数的图象过点和与轴交于点．（1）求该二次函数的解析式；（2）若在该二次函数的对称轴上有一点使的长度最短求出的坐标．【解答】解：（1）二次函数的图象过点解得二次函数的关系式为；（2）抛物线的对称轴是直线与轴交点点关于直线的对称点是与对称轴的交点即为点使的长度最短如图：设直线的解析式为将代入得：解得直线的解析式为当时；3．如图已知点的坐标为直线与轴轴分别交于点和点连接顶点为的抛物线过三点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）动点在抛物线对称轴上当最短时求点坐标；【解答】解：（1）直线与轴轴分别交于点和点抛物线经过点抛物线的解析式为把代入得到抛物线的解析式为即顶点坐标．（2）如图1中连接交对称轴于此时的值最小直线的解析式为对称轴．4．如图顶点为的抛物线与轴交于点与轴交于、两点．（1）求抛物线解析式及、两点坐标；（2）在抛物线对称轴上有一点使到、两点的距离和最短求点坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为：抛物线顶点为抛物线解析式为：抛物线与轴交于点；当时即：解得：；（2）抛物线顶点为对称轴是直线点、关于对称轴对称连接交对称轴与点就是到、两点的距离和最短的点设直线解析式为解得：当时点坐标为；5．如图抛物线与轴交于点和点与轴交于点顶点为连接．（1）求抛物线的表达式；（2）点是抛物线的对称轴上一点使得最短求点的坐标；（3）点是第一象限内抛物线上的动点连接．当最大时求点的坐标．【解答】解：（1）抛物线过点和点解得：抛物线解析式为：；（2）抛物线的对称轴为当时即由对称性可知则由两点之间线段最短可知点即为所求设直线的解析式为将点代入得：解得则直线的解析式为当时最短时点的坐标为；（3）如图：连接设点的坐标点可得关于的二次函数利用二次函数的最值求解即可得．时最大故当最大时点的坐标为．6．如图二次函数图象与轴交于点、与轴交于点抛物线的顶点坐标是且经过．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得最短？若存在求出的坐标．若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为抛物线经过点解得抛物线的函数解析式为；（2）当时有解得或当时有的面积；（3）存在理由如下：二次函数的对称轴为直线点关于对称轴对称的点的坐标为由对称性得：则由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时最短设直线的函数解析式为把代入得解得取则．7．如图抛物线与轴交于、两点于轴交于点顶点为．（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）请计算以、、、为顶点的四边形的面积；（3）在坐标轴上是否存在点使得点到、两点的距离之和最短若存在请直接写出点坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为将点、、的坐标代入抛物线表达式得：解得故抛物线的表达式为抛物线的对称轴为当时故点的坐标为；（2）由点、、的坐标知则则为直角三角形四边形的面积；（3）存在理由：作点关于轴的对称点连接交轴于点则点为所求点设直线的表达式为则解得故直线的表达式为令解得故点的坐标为．8．已知抛物线与轴相交于点（点在点右边）与轴相交于点该抛物线的顶点为且经过点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点使得最短？若点存在求出点的坐标；若点不存在请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：由于抛物线经过点所以解得．所以即（2）当时即解得：所以点点当时所以点所以所以的面积为3；（3）在轴上存在一点使得最短．点．关于轴的对称点连接交轴于点点是满足条件的点．设直线的解析式为所以解得所以当时所以所以点9．如图抛物线经过、、三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在一点使的面积为8请求出点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得最短？若点存在求出点的坐标；若点不存在请说明理由．【解答】解：（1）二次函数过点、、解得二次函数的解析式为；（2）设的高为的面积为8解得：当时解得：；当时解得：即点的坐标为或或；（3）存在理由是：即抛物线的对称轴是直线作点关于直线的对称点正好在抛物线上）连接交直线与此时最短点的坐标为点的坐标为设直线的解析式为把、的坐标代入得：解得：即直线的解析式为把代入得：即点的坐标是．10．已知二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的解析式；（2）该抛物线与轴交于点顶点为求两点的坐标；（3）轴上是否存在一点使得最短？若点存在求出点的坐标；若点不存在请说明理由．【解答】解：（1）把点代入得：解得：或（不合题意舍去）二次函数的解析式为；（2）令得点坐标为．将配方得：点坐标为．（3）存在；点的坐标为．理由如下：由两点之间线段最短知当三点共线时最短．设直线的解析式为根据题意得：解得：直线的解析式为：当时点的坐标为．11．如图已知二次函数的图象与轴、轴分别相交于点和其顶点为．（1）求二次函数的表达式；（2）若该二次函数的图象与轴的另一个交点为求的面积；（3）请判断：在该函数图象的对称轴上是否存在点使得的周长最短．若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过点和解得抛物线解析式为；（2）当时解得则抛物线点坐标为而；（3）存在．连接交直线于点如图由对称性知此时的值最小的周长最短易得直线的解析式为当时点坐标．13．如图已知抛物线的对称轴为直线．抛物线与轴相交于两点点在点的左侧点为抛物线与轴的交点．（1）求和的值；（2）在抛物线的对称轴上存在一点使最短请求出点的坐标．（3）抛物线上是否存在一点使的面积等于的面积的4倍？若存在．求出点所有的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线解得把代入得：；（2）由（1）知抛物线为令则解得或连接交直线于如图：关于直线的对称点是而、、共线故此时最小最小值为的长度设直线为将代入得：解得直线为令得；（3）存在点使的面积等于的面积的4倍如图：设的面积等于的面积的4倍即当时解得或或当时解得综上所述点的坐标为或或．14．如图已知抛物线的图象与轴交于和与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点使得的周长最小请求出点的坐标．【解答】解：（1）将、代入抛物线的解析式得：解得：该抛物线的解析式为；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线点连接交直线于如图则此时的值最小的周长最小．设直线的解析式为把代入得解得．直线的解析式为．当时此时点坐标为点坐标为时的周长最小．15．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点是抛物线上一点那么在抛物线的对称轴上是否存在一点使得的周长最短？若存在求点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将点与代入；（2）函数的对称轴为关于对称轴的对称点为连接与对称轴交于点即为所求点；易求直线的解析式为当时的周长最短；16．如图二次函数的图象经过两点．（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图象与轴交于、两点求的面积；（3）若点在二次函数图象的对称轴上当周长最短时求点的坐标．【解答】解：（1）把代入得解得抛物线的解析式为；（2）当时解得、点的坐标为而的面积；（3）抛物线的对称轴为直线作点关于直线的对称点连接交直线于则此时的值最小则周长最短设直线的解析式为把代入得解得直线的解析式为当时．17．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点连接和．（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式不写过程）（2）点在抛物线的对称轴上当的周长最小时点的坐标为．【解答】解：（1）将代入得解得：抛物线得解析式为：．（2）在中对称轴为直线点与点关于对称轴对称如图1可设交对称轴于点由两点之间线段最短可知此时有最小值而的长度是定值故此时的周长取最小值在中当时点的坐标为设直线的解析式为将点代入得直线的解析式为当时点的坐标为；故答案为：．18．如图抛物线的顶点坐标交轴于、两点与轴交于若抛物线上有一点．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴上有一点连结、、求周长最短时点的坐标；（3）求点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为将点代入得：解得抛物线表达式为：即；（2）如图1点、关于抛物线对称轴对称取直线与对称轴的交点为点时周长的最小抛物线的解析式为当时解得：或设直线的解析式为直线的解析式为抛物线的对称轴为当时；②如图2过作交于点作轴于点设直线的解析式为直线的解析式为联立解得（舍去）或．19．如图抛物线与轴交于两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）若抛物线交轴于点在该抛物线的对称轴上是否存在点使得的周长最小？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将代入得：解得则该抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴是直线顶点坐标是；（3）存在理由：如图1点关于抛物线对称轴的对称点为点设直线的解析式为：将点、