2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 二次函数与四边形存在性问题（强化）（解析版）

二次函数与四边形存在性问题【例题精讲】已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）是二次函数图象对称轴上的点在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有请直接写出点的坐标．【解答】解：（1）设把代入得：解得：该抛物线的解析式为；（2）存在．如图2中当是平行四边形的边时可得或当为对角线时点的横坐标为2时．综上所述满足条件的点的坐标为或或．如图一次函数图象与坐标轴交于点、二次函数图象过、两点．（1）求二次函数解析式；（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点点是对称轴上一动点在抛物线上是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在求出点坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）在中令得令得二次函数图象过、两点解得二次函数解析式为；（2）存在理由如下：由二次函数可得其对称轴为直线设而与关于直线对称①当、为对角线时如图：此时的中点即是的中点即解得当时四边形是平行四边形由可得四边形是菱形此时；②、为对角线时如图：同理、中点重合可得解得当时四边形是平行四边形由可得四边形是菱形此时；③以、为对角线如图：、中点重合可得解得时四边形是平行四边形由可得四边形是菱形此时；综上所述的坐标为：或或．如图在平面直角坐标系中抛物线与坐标轴交于两点直线交轴于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点使得四边形为矩形？如果存在求出点的坐标；如果不存在请说明理由．【解答】解：（1）把代入抛物线得解得：该抛物线的解析式为；（2）存在．过点作的平行线过点作的平行线两条直线相较于则即为所求．在中令则四边形是矩形设直线的解析式为则解得：直线的解析式为直线的解析式为直线的解析式为联立方程组解得：点坐标为．若二次函数的图象经过点其对称轴为直线与轴的另一交点为．（1）求二次函数的表达式；（2）若点在直线上且在第四象限过点作轴于点．①若点在线段上且求点的坐标；②以为对角线作正方形（点在右侧）当点在抛物线上时求点的坐标．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点对称轴为直线经过解得抛物线的解析式为；（2）①如图1中设直线的解析式为解得直线的解析式为关于直线对称设轴点；②如图2中连接交于点．设则点四边形是正方形轴点在抛物线上解得点在第四象限舍去点坐标为．【题组训练】4．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点与轴交于点、．且点点为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1过点作平行于轴交抛物线于点若点在的上方作平行于轴交于点连接当时求点坐标；（3）设抛物线的对称轴与交于点点在直线上当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时请直接写出点的坐标．【解答】解：（1）将点分别代入得二次函数的解析式为；（2）轴点当时设直线的解析式为将分别代入得解得直线的解析式为；设点的横坐标为则函数当时有又解得：或；（3）抛物线的对称轴与交于点设若四边形为平行四边形解得或或；若四边形为平行四边形同理求出；若为对角线则解得（不合题意舍去）或综合以上可得出点的坐标为或或或．5．抛物线经过、两点顶点为点连接．（1）求抛物线及直线的解析式；（2）请你直接写出的面积；（3）过点作轴垂足为平行于轴的直线交直线于点交抛物线于点是否存在点使以点、点、点、点为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过两点解得即该抛物线的解析式为设直线的解析式为解得直线的解析式为；（2）如图过点作轴交于点顶点的坐标为直线的解析式为当时；（3）设以点、点、点、点为顶点的四边形为平行四边形或当时或当时或综合以上可得点的坐标为或或或．6．如图已知抛物线与轴的交点为、在的右侧）与轴的交点为顶点为．（1）直接写出、、、四点的坐标；（2）若点在抛物线上使得的面积与的面积相等求点的坐标；（3）在对称轴上存在点抛物线上是否存在点使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）当时；当时则解得；抛物线的顶点的坐标为．（2）如图1设与有相同的底边且的面积与的面积相等点到轴的距离等于点到轴的距离解得点的坐标为或或或．（3）存在如图2点的横坐标为3作轴作于点由（1）得抛物线的对称轴为直线在上截取过点作直线的垂线垂足为点连结并延长交轴于点作四边形四边形是平行四边形；如图3点的横坐标为作轴作于点设直线交轴于点在轴上方的直线上截取作四边形交轴于点轴四边形是平行四边形；如图4点的横坐标为作轴于点作轴于点在上截取过点作直线的垂线垂足为点连结并延长交于点作四边形轴四边形是平行四边形综上所述点的坐标为或或．7．如图二次函数的图象与轴交于点与轴交于点为线段上一动点将射线绕逆时针方向旋转后与函数图象交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）当在二次函数图象对称轴上时求此时的长；（3）求线段的最大值；（4）抛物线对称轴上是否存在使、、、四点能构成平行四边形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把代入得解得该二次函数的表达式为．（2）如图1作轴于点作直线交轴于点则且该直线过点设直线的解析式为直线由得抛物线的对称轴为直线当点落在直线上则解得由得（不符合题意舍去）．（3）如图2当时的长随的增大而减小．当点与点重合时的长最大的长也最大此时直线的解析式为由得（不符合题意舍去）此时的最大值为．（4）存在．如图3为以、、、四点为顶点的四边形的一边则．设直线交轴于点此时在抛物线上一定存在点其纵坐标为作轴于点在轴上取点使则且四边形是平行四边形此时；如图4．设设直线的解析式为则即由得（不符合题意舍去）解得（不符合题意舍去）．综上所述点的坐标为或．8．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点直线经过点点是抛物线上的动点过点作轴垂足为交直线于点．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）当点位于直线上方且面积最大时求的坐标；（3）若点是平面直角坐标系内的任意一点是否存在点使得以为顶点的四边形是菱形？若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把代入得解得直线的解析式为．令则．把点代入抛物线的解析式得解得．抛物线的解析式为．令解得；（2）设则．当时的面积最大此时；（3）存在理由如下：当点在轴右侧时四边形为菱形设的解析式为把坐标代入得的解析式为设解得或（舍；当点在轴左侧时同理可得；综上．9．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点在抛物线上当时求点的坐标；（3）将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线点为直线上一动点在平面直角坐标系中是否存在点使以点为顶点的四边形为菱形？若存在请求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线与轴交于两点解得．抛物线的解析式为；（2）如图设直线与交于点抛物线解析式与轴交于点又或设直线的解析式为或解得或直线的解析式为或或解得（舍去）（舍去）或；（3）由（1）知抛物线解析式为对称轴直线为将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线设①当为对角线时如图以点为顶点的四边形为菱形或或或；②当为对角线时如图以点为顶点的四边形为菱形或或或；综上所述存在点使以点为顶点的四边形为菱形点的坐标为或或或．10．如图抛物线的对称轴是直线与轴交于点与轴交于点连接．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点过点作轴垂足为点交直线于点是否存在这样的点使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点在坐标平面内是否存在点使以点、、、为顶点的四边形为矩形若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线与轴交于点解得抛物线的解析式；（2）设直线的解析式为将点代入得：解得：直线的解析式为；设点坐标为则点①当时解得（不合题意舍去）点的坐标为；②当时解得（不合题意舍去）点的坐标为；③当时解得点的坐标为；综上存在点的坐标为或或；（3）设①以为对角线时解得：或或或或点的坐标为或；②以为边时或或解得：或或或或点的坐标为或综上所述：存在点的坐标为或或或．11．综合与探究如图某一次函数与二次函数的图象交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线对称轴上一动点当与的和最小时点的坐标为；（3）点为抛物线位于线段下方图象上一动点过点作轴交线段于点求线段长度的最大值；（4）在（2）条件下点为轴上一点点为直线上一点点为平面直角坐标系内一点若以点为顶点的四边形是正方形请直接写出点的坐标．【解答】解：（1）将代入得抛物线的解析式为；（2）设直线的函数解析式为直线的解析式为当点、、三点共线时的最小值为的长抛物线的对称轴为当时故答案为：；（3）设则当时的最大值为；（4）当为对角线时如图此时四边形是正方形当为边时若点在的上方此时轴是等腰直角三角形当点在点的下方时如图四边形是正方形同理可得当点在点的下方时如图四边形是正方形同理可得综上：或或或．12．如图已知抛物线与一直线相交于两点与轴交于点其顶点为．（1）填空：抛物线的解析式为；（2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点设点的横坐标为过点作轴的平行线交与当为何值时线段的长最大并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线相交于点为直线上的任意一点过点作交抛物线于点以为顶点的四边形能否为平行四边形？若能请直接写出点的坐标；若不能请说明理由．【解答】解：（1）将代入抛物线的解析式得：解得：抛物线的解析式为故答案为：；（2）是抛物线上位于直线上方的一个动点横坐标为点的坐标为；设直线的解析式为将代入得：解得：直线的解析式为；轴点在上点的坐标为当时的长最大最大值为；（3）以为顶点的四边形能为平行四边形理由如下：顶点直线的解析式为抛物线的对称轴与直线相交于点设点则或解得：（舍．点的坐标为：或或．13．如图已知抛物线与轴交于、两点与轴交于点连接．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为线段上的一动点（不与、重合）轴且交抛物线于点交轴于点当的面积最大时求点的坐标；（3）在（2）的条件下当的面积最大时点是抛物线的对称轴上的动点在抛物线上是否存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）依题意得：解得：抛物线的解析式为．（2）设直线的解析式为则解得：直线的解析式为设点坐标为则点坐标为当时的面积最大．此时点的坐标为．（3）对称轴为直线当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形点的坐标是或或．14．综合与实践如图二次函数的图象交轴于点、点其中点的坐标为点的坐标为过点、的直线交二次函数的图象于点．（1）求二次函数和直线的函数表达式；（2）连接则的面积为6；（3）在轴上确定点使得点的坐标为；（4）点是抛物线上一点点为平面上一点是否存在这样的点使得以点、点、点、点为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在请你直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将代入得：解得：二次函数的表达式为．当时解得：点的坐标为．设直线的函数表达式为将代入得：解得：直线的函数表达式为．（2）联立直线和抛物线的函数表达式得：解得：点的坐标为．故答案为：6．（3）当点在轴正半轴轴时过点作于点如图1所示．点关于轴对称．点的坐标为点的坐标为平分．点的坐标为．当点在轴负半轴时点的坐标为故答案为：或．（4）连接则即利用待定系数法可求出直线的函数表达式．分两种情况考虑如图2所示．①当四边形为矩形时设直线的函数表达式为将代入得：解得：直线的函数表达式为．联立直线和抛物线的函数表达式得：解得：点的坐标为又四边形为矩形点的坐标为即；②当四边形为矩形时同理可得出直线的函数表达式为联立直线和抛物线的函数表达式得：解得：点的坐标为又四边形为矩形点的坐标为即．综上所述存在这样的点使得以点、点、点、点为顶点的四边形是以为边的矩形点的坐标为或．15．在平面直角坐标系中二次函数为常数）的图象记作图象上点的横坐标为．（1）当求图象的最低点坐标；（2）平面内有点．当不与坐标轴平行时以为对角线构造矩形与轴平行与轴平行．①若矩形为正方形时求点坐标；②图象与矩形的边有两个公共点时求的取值范围．【解答】解：（1）时顶点为图象的最低点坐标为；（2）①当时正方形中与轴平行与轴平行同理得或解得或点的坐标为或；②点在图象上图象与矩形已经有一个公共点图象与矩形的边有两个公共点只需图象与矩形的边再由一个公共点即可；点的横坐标为当时当时如图1当时图象在时随的增大而减小矩形与图象只有一个交点；当时图象在时随的增大而减小当时图象与矩形有两个交点；当经过点时解得时图象与矩形有两个交点；如图3当时即当时整理得△△此时图象与边有另一个交点此时图象与矩形有三个交点当时点坐标为此时不与轴平行不符合题意；当时此时图象与矩形有两个交点；综上所述：或时图象与矩形有两个交点．16．如图在平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为与轴交于点与交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）过点作平行于轴交抛物线于点点为抛物线上的一点（点在上方）作平行于轴交于点当点在何位置时四边形的面积最大？求出最大面积；（3）若点在抛物线上点在其对称轴上以为顶点的四边形是平行四边形且为其一边求点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为抛物线与轴交于点即二次函数的表达式是；（2）当时设直线的解析式为由点、的坐标得直线的解析式为；设当时即点时；（3）如图过作垂直于对称轴垂足为（两角的两边相互平行这两角相等）．又点的横坐标为或当时点纵坐标为8当时点纵坐标为8点的坐标为或．17．如图抛物线过两点交轴于点．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿射线运动设运动的时间为秒．（1）求抛物线的表达式；（2）过点作轴交抛物线于点．当时求的长；（3）若在平面内存在一点使得以为顶点的四边形是菱形求点的坐标．【解答】解：（1）将代入中得：解得：．故抛物线的解析式为；（2）当时如图1过点作轴于中即当时；（3）存在两种情况：①如图2四边形是菱形过点作轴于即；同理可得；②如图3四边形是菱形设直线的解析式为：则解得直线的解析式为：设点四边形是菱形解得：；综上点的坐标为或或．18．如图抛物线与轴交于、交轴于．（1）求抛物线的解析式；（2）是直线上方的抛物线上的一个动点设的横坐标为到的距离为求与的函数关系式并求出的最大值；（3）设点是轴上的动点在平面直角坐标系中存在点使得以点、、、为顶点的四边形是菱形直接写出所有符合条件的点坐标．【解答】解：（1）抛物线过、、三点解得抛物线的解析式为；（2）如图1过点作轴于点交于点于点连接、‘、设直线解析式为则解得直线解析式为点的横坐标为且在抛物线上又轴于点交于点又与的函数关系式为：当时有最大值为；（3）存在．①若为菱形对角线如图2则与互相垂直平分；②若为菱形对角线如图3和图4则或；③若为菱形对角线如图5则设由得解得．综上可知存在点使得以点、、、为顶点的四边形是菱形符合条件的点有4个：或或或．19．如图抛物线交轴于两点交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1点为第四象限抛物线上一点连接过点作于点若求点的横坐标；（3）若点是抛物线对称轴上一动点且在轴的上方点是平面直角坐标系内的任意一点如果以为顶点的四边形是菱形请直接写出符合条件的点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：把代入得；（2）设点由题意得（舍去）点的横坐标为：；（3）抛物线的对称轴为直线：设点当时（舍去）当时（舍去）当菱形时此时综上所述：或或．20．如图已知直线与轴、轴分别交于、两点抛物线经过、两点与轴的另一个交点为点的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点关于抛物线的对称轴直线对称点是对称轴上一动点在抛物线上是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）在中令得令得把代入得：解得抛物线的函数表达式是；（2）在抛物线上存在点使得以、、、为顶点的四边形是菱形理由如下：抛物线的对称轴是直线关于抛物线的对称轴直线对称设①当是对角线时的中点即是的中点如图：解得关于抛物线的对称轴直线对称以、、、为顶点的四边形是菱形；②当为对角线时的中点重合如图：解得而以、、、为顶点的四边形是菱形；③当为对角线的中点重合如图：解得而以、、、为顶点的四边形是菱形综上所述的坐标是或或．21．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点连接点是直线下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接设点的横坐标为的面积为求与的函数关系式；（3）试探究：过点作的平行线1交线段于点在直线上是否存在点使得以点为顶点的四边形为菱形若存在请直接写出点的坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将代入得：解得：；（2）如图1过点作轴交直线于点设直线的解析式为：的解析式为：点的横坐标为的坐标是则的坐标是点是直线下方抛物线上的一个动点；（3）分两种情况：①如图2四边形是菱形设则四边形是菱形；②如图3四边形是菱形设则四边形是菱形（舍或；综上所述点的坐标为或．22．如图在平面直角坐标系中经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）是线段上一点是抛物线上一点当轴且时求点的坐标；（3）是抛物线上一动点是平面直角坐标系内一点．是否存在以点为顶点的四边形是矩形？若存在直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线过点和解得：抛物线的解析式为：；（2）直线经过点和直线的解析式为：轴设其中当在点的上方时解得：（舍当在点下方时解得：综上满足条件的点的坐标有三个或或；（3）存在①如图2若是矩形的边设抛物线的对称轴与直线交于点且过点分别作直线的垂线交抛物线于点同理得：点与点重合当时四边形是矩形向右平移1个单位向上平移1个单位得到向右平移1个单位向上平移1个单位得到此时直线的解析式为：直线与平行且过点直线的解析式为：点是直线与抛物线的交点解得：（舍当时四边形是矩形向左平移3个单位向上平移3个单位得到向左平移3个单位向上平移3个单位得到；②如图3若是矩形的对角线设当时过点作轴于过点作于△△点不与点重合或如图4满足条件的点有两个即当时四边形是矩形向左平移个单位向下平移个单位得到向左平移个单位向下平移个单位得到当时四边形是矩形向右平移个单位向上平移个单位得到向右平移个单位向上平移个单位得到；综上点的坐标为或或或．23．如图抛物线与轴交于点、（点在点左侧）与轴交于点连接．（1）求线段的长；（2）过点作与轴交于点与抛物线第四象限的图象交于点为抛物线上位于第一象限的点连接交于点连接求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线与原抛物线交于点点在直线上且位于轴右侧在平面直角坐标系中是否存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）令代入抛物线解析式得或令代入抛物线解析式得的长度为．（2）设：过设过令得：联立解得：或设过联立得如图过做交轴于将代入得：当时①把代入①解得时四边形面积最大为8此时．（3）由题意知联立解得：①为边设由可得解得（负值舍去）由菱形性质可得：；②为对角线时设由可得解得由菱形性质可得：得．综上所述满足条件的点的坐标为．24．如图在平面直角坐标系中矩形的两边分别在轴和轴上抛物线经过点且与轴交于点和点．（1）求抛物线的表达式；（2）若是第一象限抛物线上的一个动点连接当四边形的面积最大时求点的坐标此时四边形的最大面积是多少；（3）若是抛物线对称轴上一点在平面内是否存在一点使以点为顶点的四边形是矩形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在说明理由．【解答】解：（1）四边形为矩形且点的坐标为点的坐标为点的坐标为．将代入得：解得：抛物线的表达式为．（2）当时解得：点的坐标为．过点作轴于点如图1所示．设点的坐标为则时取得最大值最大值此时点的坐标为当四边形的面积最大时点的坐标为此时四边形的最大面积是16．（3）抛物线的表达式为抛物线的对称轴为直线．利用待定系数法可求出直线的表达式为分为边及为对角线两种情况考虑：①当为边时若四边形为矩形则直线的解析式为点的坐标为点的坐标为即；若四边形为矩形则直线的解析式为点的坐标为点的坐标为即；②当为