2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 二次函数与三角形存在性问题（强化）（原卷版）

二次函数与三角形存在性问题【例题精讲】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，，直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）求四边形的面积；（3）是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上一动点，连接，．（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）如图1，当点在直线上方时，过点作上轴于点，交直线于点．若，求的面积；（3）抛物线上存在一点，使是以为直角边的直角三角形，求点的坐标．

【题组训练】1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），，两点的坐标；（2）证明与的面积相等；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点坐标为，对称轴为．点为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点作轴，交抛物线于点，交于点．（1）求抛物线及直线的表达式；（2）过点作，垂足为点．求线段的最大值；（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）点为抛物线对称轴上的一点，当以点，，为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

5．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为与点，与轴交于点．（1）求此二次函数关系式和点的坐标；（2）请你直接写出的面积；（3）在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将直线向下移动个单位，若直线与抛物线有交点，求的取值范围；（3）直线分别交直线和抛物线于点，，当是等腰三角形时，直接写出的值．

7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且的面积为6．（1）求，两点的坐标；（2）求该二次函数的表达式；（3）如果点在坐标轴上，且是等腰三角形，直接写出点坐标．

8．如图，直线和抛物线都经过和两点，抛物线与轴交于、两点（点在点右侧）．（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形的面积；（3）在轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点为抛物线上动点，设点的横坐标为．（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点在第四象限，连接、及，当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点，使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点在轴上，点在轴上，其中，已知抛物线经过点和点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点在直线上，点为轴右侧抛物线上一点，连接、，，若，求点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，为射线上一点，作直线于点，连接，，，若为直角三角形，请直接写出点坐标．

11．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标．（2）将抛物线关于轴对称的抛物线记作，点为抛物线上一点若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标．

13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，为线段上的一个动点不与、重合），过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求点的坐标；（3）连接、、、，当的面积等于的面积时（点与点不重合），求点的坐标；（4）在（3）的条件下，在轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

14．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直线，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．

15．已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），过点作轴的平行线，交直线于点；①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标；②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的横坐标的值；若不存在，说明理由；（3）点为轴正半轴上一点，直接写出使为等腰三角形的点的坐标．

16．在平面直角坐标系中，抛物线，是常数，与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．（1）填空：（用含的代数式表示）；（2）当时，抛物线上的点到轴的最大距离为5，求的值；（3）若点的坐标为，点的坐标为（其中，点为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，连接．（1）求、、三点的坐标；（2）若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标．

19．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点，点为线段上一个动点，过点作轴于点，若．（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为，试判断有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，抛物线过点和点，与轴交于点在轴上有一动点（其中为实数，，过动点作直线轴，交抛物线于点．（1）求抛物线解析式及点的坐标；（2）当时，在直线上是否存在第一象限内的点，使得是以为底角的等腰三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由