2023全国数学联赛初中数学试题及答案-打印版

2023年全国初中数学竞赛试题

班级姓名成绩供稿人：李锦扬

一、选择题(共5小题，每题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四

个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填

或错填都得0分)

fa+20+3c=°，工,“,ab+bc+ca...、

1.设非茶实数a,b,。满足,,.八那么「2--2z---2r的值为().

[2a+3/j+4c=0,a+b+c

(A)--(B)0(C)-(D)1

22

2.a,b,c是实常数，关于x的一元二次方程0?+法+。=0有两个非零实根为，％,

那么以下关于x的一元二次方程中，以二，-V为两个实根的是().

芍%

(A)c~x^+(Z?-一2ac)x+a~=0(B)c~x~—(b~—2ac)x+=0

(C)c2x2+(Z?2-2ac)x-a2-0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a2=0

3.如图，在RtZ\ABC中，。是斜边AB的中点，CDVAB,垂足为£>,DELOC,垂足为E.假

设4。，DB,CD的长度都是有理数，那么线段。£>,OE,DE,AC的长度中，不二定是有理数

的为().

(A)OD(B)OE

(C)DE(D)AC

4.如图，AABC的面积为24,点。在线段AC上，点尸在线

段8c的延长线上，且8C=4b,OCFE是平行四边形，那么图

中阴影局部的面积为().

(A)3(B)4

(C)6(D)8

5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*

F

3x3y+3x2y2+AV3+45

x*y=——-~：---W----,

'(x+iy+(y+l)3-60(第4题)

且x*y*z=(x*y)*z,那么2013*2012**3*2的值为().

60716389

(A)(D)

967⑻蟾©翳967

二'填空题

6.设。=%，6是/的小数局部，那么(6+2)3的值为.

7.如图，点。，E分别是△A8C的边AC,AB上的点，直线8。与CE

交于点尸，4CDF,ABFE,△BC尸的面积分别是3,4,5,那么四边形

的面积是.

8.正整数mb,c满足a+/—2c-2=0,3a2-Sb+c-0,那么abc

B

(第7题)

的最大值为.

9.实数a,b,c,d满足：一元二次方程/+“+</=0的两根为a,b,一元二次方程

/+必+/?=0的两根为0,d,那么所有满足条件的数组（a,4c,d）为.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅

笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2023元.那么他至

少卖出了支圆珠笔.

三'解答题

11.如图，抛物线>=以2+/一3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交

于点C,且O8=OC=3OA.直线y=x+1与y轴交于点。.

求NDBC-NCBE.

12.设△ABC的外心，垂心分别为。H,假设BC,H,O共圆，

对于所有的△ABC,求NBAC所有可能的度数.

13.设。，人，c是素数，记x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

当z2=y,五一4=2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你

的结论.

14.如果将正整数仞放在正整数机左侧，所得到的新数可被7整除，

那么称M为机的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415

能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数”的最小值，使得存在（第U题）

互不相同的正整数％，a2,…，an,满足对任意一个正整数m,在

4,«2,a“中都至少有一个为根的魔术数.

2023全国数学联赛试题参考答案

一'选择题

ja+2。+3c=0,ab+be+ca

1.设非零实数。，h,c满足那么的值为（).

[2a+3b+4c=0,a2+b2+c2

(A)--(B)0(D)1

2

【答案】A

【解答】由得a+0+c=(2a+30+4c)-(a+2b+3c)=0,故(a+/?+c)2=0.于是

,,,,1/22、-ab+bc+ca1

cib+be+ca—(tz+b+c)»所Ct以H1一：---；----=—■

2a~+b"+c2

2.a,b,c是实常数，关于x的一元二次方程以2+bx+c=0有两个非零实根再，x2,

那么以下关于x的一元二次方程中，以4，1为两个实根的是().

尤；x2

(A)c2x2+(b2-2ac)x+a2=0(B)c2x2-(&2-2ac)x+6f2=0

(C)cx^+(〃2—2ac)x—=0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a1-0

【答案】B

【解答】由于依2+法+。=0是关于x的一元二次方程，那么QW0.因为％+/=一上,

c111,2

(%+%2了-2X1X2b-2ac11

xyx-f=一，且X|Xw0,所以cw。，且——~\——---------~Z-----------=------Z-----，——,———

2c222

■ax,x2%x2

二为两个实根的一元二次方程是

于是根据方程根与系数的关系，以-4,

玉彳2

--——x+-=0,即c2x2-(b2-2ac)x+a2=0.

cc

3.如图，在RtZ\ABC中，O是斜边AB的中点，CD1AB,垂足为D,

DErOC,垂足为E.假设A。，DB,CD的长度都是有理数，那么线段。£),

OE,DE,AC的长度中，不下足是有理数的为().

(A)OD(B)OE

(C)DE(D)AC

【答案】D

(第3题)

【解答】因AD,DB,CD的长度都是有理数，所以，OA=OB=

0C=A。+8。是有理数于是，。。=04-4力是有理数.

2

由Rt/\DOE^Rt/\COD,知OE=2-,DE=都是有

OCOC

理数，而AC=NADAB不一定是有理数.

4.如图，△ABC的面积为24,点力在线段AC上，点尸在线段

2c的延长线上，且8C=4CF,OCFE是平行四边形，那么图中阴影

局部的面积为().

(A)3(B)4

(C)6(D)8

【答案】C

【解答】因为。CFE是平行四边形，所以DE//CF,且EF//DC.

连接CE,因为DE//CF,即。E〃BF,所以SADELSADEC，

(第4题)

因此原来阴影局部的面积等于△ACE的面积.

连接AF,因为EFHCD,即EF//AC,所以&ACE=SAACF.

因为6C=4CF,所以SA”L4SAACF.故阴影局部的面积为6.

5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*"为：

3x3y+3*2y2+3+45

x*y=——-；-----------,

(x+l)3+(y+l)3-60

且x*y*z=(x*y)*z,那么2013*2012**3*2的值为().

607,、1821,、546316389

(A)⑻----(C)----(D)

967967967967

【答案】C

【解答】设2013*2012**4=加，那么

x3+3而x9+mx27+45

(2013*2012**4)*3=m*3==9,

rn'+3/n2+3/n+1+64-60

十日CCC3X93X2+3X92X22+9X23+455463

于是(2013*2012*-*3)*2=9*2=----------：——：---------------=.

')IO?+33-60967

二、填空题

6.设。=盯，6是"的小数局部，那么9+2y的值为.

【答案】9

【解答】由于1<。<2</<3,故。=/一2=科一2,因此（8+2）3=（若y=9.

7.如图，点£>,E分别是△A8C的边AC,AB上的点，直线8。与CE

交于点F,/\CDF,ABFE,/XBCF的面积分别是3,4,5,那么四边形AEFZ）

的面积是.

204

【答案】

7T

【解答】如图，连接AF,那么有:

SA/IEF+4=S.EF+SgFE_BFSRBCF_*

qFDS^CDF3

+3_S+S“CDF_CF_SZBCF

°sM£F-°q^AEF―1FJF―°sABEF

（第7题）

解得，SSAFD=值'

204

所以，四边形AEF。的面积是IC

13

（第7题答题）

8.正整数“，b,c满足a+Z?2-2c-2=0,3a2-Sb+c-O,那么abc

的最大值为.

【答案】2013

【解答】由。+/—2c2=0,3〃一8人+c=0消去c,并整理得

（人一8）2+6/+a=66.由a为正整数及6aW66,可得lWaW3.

假设a=l,那么（匕一8『=59,无正整数解；

假设。=2,那么伍-8）2=40,无正整数解；

z、2

假设a=3,那么（。一8）一=9,于是可解得h=ll,b=5.

（i）彳段设人=11,那么c=61,从而可得，由c=3xllx61=2013；

（ii）假设。=5,那么c=13,从而可得就c=3x5xl3=195.

综上知abc的最大值为2013.

9.实数a,h,c,d满足：一元二次方程V+cx+d=0的两根为a,b,一元二次方程

/+以+8=0的两根为°,d,那么所有满足条件的数组（a,。，c,d）为.

【答案】(1,-2,1,-2),(t,0,-t,0)㈠为任意实数)

a+b=-c,

【解答】由韦达定理得,

c+a=-a,

cd=b.

由上式，可知/?=-a—c=d.

假设Z?=dwO,那么a=—=1,-进而=d=—a—c=-2.

bd

假设匕=d=0,那么c=—a,有(a,/?,c,d)=(f,0,—力0)(f为任意实数).

经检验，数组(1,-2,1,一2)与(/,0,-t,0)(7为任意实数)满足条件.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.开始时他有铅

笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2023元.那么他至

少卖出了支圆珠笔.

【答案】207

【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，那么"

匕匚］2013—7y。、y+1

所以x=---------=(503—2y)H------»

44

v+1

于是上丁是整数.又2013=4(x+y)+3y<4x350+3y,

所以y>204,故y的最小值为207,此时x=141.

三、解答题

11.如图，抛物线丁=依2+法-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交

于点C,KOB=OC=3OA.直线y=x+1与y轴交于点D

求NDBC-NCBE.

【解答】将x=0分别代入丁=—」x+l,y=ax2+bx-3^n,0(0,

1),C(0,-3),

所以B(3,0)>A(—1,0).直线y=---x+1过点B.

将点C(0,-3)的坐标代入y=a(x+l)(x-3),得a=l.

........5分

抛物线了=1-28-3的顶点为七(1,-4).于是由勾股定理得

BC=30,CE=V2,BE=25/5.

因为BC2+CE2=Bf2,所以，ABCE为直角三角形,ZBCE=90°.

........10分

r~>ijrx1

因此tanZCBE=—=~.又tanZDBO=-=那么4DB0=ZCBE.

CB3OB3

........15分

所以，NDBC—NCBE=ZDBC—NDBO=NOBC=45°.

20分

12.设aABC的外心，垂心分别为O,”，假设BC,H,O共圆，对于所有的△ABC,

求N8AC所有可能的度数.

【解答】分三种情况讨论.

(i)假设△ABC为锐角三角形.

因为ZB〃C=180°—ZANBOC=2ZA,

所以由NBHC=ZBOC,可得180°—NA=2NA,于是NA=60°.

................5分

△ABC为钝角三

NA>90°时，因为

(第12题答题⑴)

(第12题答题(ii))

ZBHC=180°-ZA,ZBOC=2（180。-NA）,

所以由N3〃C+NBOC=180°,可得3(180°-NA)=180°,于是NA=120°。

................10分

当NA<90°时，不妨假设ZB>90°,因为NBHC=NA,ZBOC^2ZA,

所以由N5〃C+N3OC=180°,可得3NA=180°,于是NA=60°.

................15分

(iii)假设△ABC为直角三角形.

当NA=90。时，因为。为边8C的中点，B,C,H,O不可能共圆，

所以NA不可能等于90°；

当NA<90°时，不妨假设NB=90。，此时点8与H重合，于是总有AC,H,O共圆，

因此NA可以是满足0°<NA<90。的所有角.

综上可得，NA所有可能取到的度数为所有锐角及120°.

................20分

13.设a,b,。是素数，记x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当

z2=y,五一6=2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.

【解答】不能.

依题意，得a=；(y+z),Z?=g(x+z),c=；(x+y).

因为y=z2,所以a=g(y+z)=g(z2+z)=z(z；D.

又由于z为整数，。为素数，所以z=2