2017年高考理科数学模拟卷(全国新课标Ⅱ卷)

2017年高考理科数学模拟卷(全国新课标Ⅱ卷)2017年高考理科数学模拟卷（全国新课标Ⅱ卷），共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合$A=\{x|y=-x^2+2x\},B=\{y|x^2+1,y\inR\}$，则$A\capB=$（）。A.$[0,1]$B.$[1,2]$C.$(-\infty,1]$D.$[2,+\infty)$2.已知$i$是虚数单位，$z=\frac{1}{a-i}+a\cdoti$，$z$的共轭复数为$z$，若$|z|^2<2$，则实数$a$的取值范围是（）。A.$(-1,1)$B.$(0,1)$C.$(-2,2)$D.$(0,2)$3.已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$满足：当$x\geq0$时，$f(x)=\log_2(x+m)$，则$f(m-16)=$（）。A.4B.$-4$C.2D.$-2$4.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为$\frac{m}{n}=$（）。A.1B.2C.4D.85.2016年6月5日，瑞士对全民每月无条件发放2500瑞士法郎（约合1.7万人民币）的决议进行了投票，结果以23%的民众支持，77%的民众反对，遭到否决。在投票后，某电视台记者以对此决案的态度的不同进行分层抽样，选取100人进行问卷调查，再从这100人中选取6人按照顺序进行深度采访，则这6人中反对这一决议者不少于5人的不同采访顺序有（）。A.$\frac{C_{77}^6+C_{23}^6}{C_{100}^6}$B.$\frac{A_{77}^5\cdotA_{23}^1}{A_{100}^6}$C.$\frac{C_{77}^5\cdotC_{23}^1+C_{77}^6}{C_{100}^6}$D.$\frac{C_{77}^5\cdotC_{23}^1}{C_{100}^6}$6.已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为（）。A.$2\pi$B.$\frac{\pi}{8}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{3}+4$7.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$上一点到左焦点$F_1$和右焦点$F_2$的距离分别为10,4，且离心率为2，过$F_2$的直线与双曲线右支交于点$A,B$，则$\triangleABF_1$的周长的最小值为（）。A.18B.24C.36D.481.在△ABC中，点D满足AD=xD(0≤x≤1)，若CA=λCD+μCB，则λ·μ的取值范围是()。解析：根据向量平移原理，有CA=CD+DB+BC，即λCD+μCB=CD+μDB+λDB+μBC。移项得到(λ-1)CD+(μ-μx)BC=μDB，即(λ-1)CD=(μx-μ)BC。因为CD与BC不共线，所以λ-1与μx-μ不同时为0。所以λ-1=0或μx-μ=0，即λ=1或x=1-μ/μ。又因为0≤x≤1，所以0≤1-μ/μ≤1，即μ≥0且μ≥-μ/μ，即μ≥-1。综上可得，λ·μ的取值范围为[0,+∞)。2.运行如下框图对应的程序，输出的结果为()。解析：程序中的循环条件为i<4，所以循环体会执行3次。在第一次执行时，i的值为0，输出的结果为3；在第二次执行时，i的值为1，输出的结果为4；在第三次执行时，i的值为2，输出的结果为1。因此，输出的结果为341。3.已知f(x)=sin(x/3)，则3sinx+cosx≤|f(x)|的解集为()。解析：根据三角函数的性质，有|sinx|≤1，|cosx|≤1，所以|3sinx+cosx|≤|3sinx|+|cosx|≤3|sinx|+|cosx|。因为f(x)=sin(x/3)，所以|f(x)|=|sin(x/3)|≤1。所以要满足3sinx+cosx≤|f(x)|，必须满足3sinx+cosx≤1。将3sinx+cosx表示成向量的形式，即(3,1)·(sinx,cosx)，根据向量的内积公式可以得到|(3,1)·(sinx,cosx)|≤|(3,1)||sinx,cosx||=√10|sinx,cosx|。因为|sinx,cosx|=1，所以要满足3sinx+cosx≤1，必须满足|(3,1)·(sinx,cosx)|≤√10。又因为|(3,1)·(sinx,cosx)|=|3sinx+cosx|，所以要满足3sinx+cosx≤|f(x)|，必须满足|3sinx+cosx|≤√10。因此，3sinx+cosx的解集为[-√10,√10]，所以3sinx+cosx≤|f(x)|的解集为[-√10,√10]。4.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为1，若A,B是抛物线上两点，且不在x轴的同一侧，O为坐标原点，OA·OB=8，则△ABF的面积的最小值为()。解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由抛物线的性质可知，F(0,p)。因为F到准线的距离为1，所以p=1。又因为OA·OB=8，所以(x1·x2-y1·y2)2=64。根据向量的叉积公式，△ABF的面积为1/2·|AB×AF|=1/2·|x1y2-x2y1,y1-x1,y2-x2|·√2。根据坐标系的对称性，可以假设x1<x2，y1<y2，然后根据AM-GM不等式可得：1/2·|x1y2-x2y1,y1-x1,y2-x2|≥1/2·√(|x1y2-x2y1|·|y1-x1|·|y2-x2|)=1/2·√(2·|x1·x2-y1·y2|·√(x1-x2)2+(y1-y2)2))。又因为(x1·x2-y1·y2)2=64，所以|x1·x2-y1·y2|≥8。所以△ABF的面积的最小值为1/2·√(2·8·√(x1-x2)2+(y1-y2)2))=2·√2。因此，△ABF的面积的最小值为2·√2。13.已知函数f(x)=lg(x+1)(x≥1)，g(x)=x-2(x<1)，则f(g(3))的值为多少？解析：g(3)=3-2=1，所以f(g(3))=f(1)=lg2。14.已知不等式组{x+y-2≤0，y≥-2}表示的平面区域为Ω，若向Ω内随机投掷一个体积可以忽略的物体，则该物体恰好落到圆x+y=2内的概率为p，求p的值。解析：不等式组{x+y-2≤0，y≥-2}表示的平面区域为由直线x+y-2=0和直线y=-2围成的三角形区域，记为Δ。圆x+y=2表示的平面区域为以点(1,1)为圆心、以√2为半径的圆，记为C。要求物体恰好落到圆C内，等价于物体落在圆C内但不落在圆C的外接正方形内。设该外接正方形的边长为2r，则r=√2/2，正方形的四个顶点分别为(1+r,1+r)、(1+r,1-r)、(1-r,1+r)和(1-r,1-r)。因为圆C的面积为2π，正方形的面积为4r2，所以物体恰好落到圆C内的概率为(p-1)·4r2/2π，即p=1-2π/4r2=1-π/2。17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2=2bccosA，证明：tan(A/2)≥√(b-c)/b+c)。解析：根据余弦定理和正弦定理可得：cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b+c)/a-2bc/(a2+b2+c2-2bc)，sinA=√(1-cos2A)=2√(bc/(a2+b2+c2-2bc))。因为tan(A/2)=sinA/(1+cosA)=2bc√(a2+b2+c2-2bc)/(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)，所以要证明tan(A/2)≥√(b-c)/(b+c)，只需证明：2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥(b+c)2(a2+b2+c2-2bc)·(b-c)。将a2=2bccosA代入等式右边，得到：(b+c)2(a2+b2+c2-2bc)·(b-c)=2(b+c)2bc(cosA-1)(b-c)=4b3c3(cosA-1)(b-c)，所以要证明的不等式可以化为：2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥4b3c3(cosA-1)(b-c)，即(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥2b3c3(1-cosA)(c-b)。因为1-cosA=2sin2(A/2)，所以不等式右边可以化为：2b3c3sin2(A/2)(c-b)=b2c2sin2(A/2)·2bc(c-b)，所以要证明的不等式可以再次化为：(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥b2c2sin2(A/2)·2bc(c-b)，即(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)≥4b2c2sin(A/2)2(c-b)。根据海伦公式，有(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)=4b2c2sin2(A/2)，所以原不等式成立。已知三角形ABC中，$b\cosC+c\cosB=a\sinA$，边BC上的高为h。（1）求角A的大小；（2）求$\frac{a}{h}+\tanB$的最小值。四棱锥P-ABCD如图所示，其中底面ABCD是边长为2的正方形，$PA\perp$平面ABCD，$PA=2\sqrt{2}$，点E在棱PC上，且$PE=\lambdaEC$。（1）是否存在$\lambda$，使得$PC\perp$平面BDE？若存在，求出$\lambda$的值；否则，请说明理由。（2）若$\lambda=1$，求直线PD与平面BDE所成角的正弦值。2016年奥运会于8月5日至21日在巴西里约热内卢举行。为了解某单位员工对奥运会的关注情况，对本单位部分员工进行了调查，得到平均每天看奥运直播时间的茎叶图如下（单位：分钟）：若平均每天看奥运直播不低于70分钟的员工可以视为“关注奥运”，否则视为“不关注奥运”。\begin{table}[htbp]\centering\caption{2×2列联表}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}[0]{*}{}}&\multicolumn{2}{c|}{关注奥运}\\\cline{3-4}\multicolumn{2}{|c|}{}&是&否\\\hline\multirow{2}[0]{*}{性别}&男性员工&25&20\\\cline{2-4}&女性员工&15&40\\\hline\multicolumn{2}{|c|}{合计}&40&60\\\hline\end{tabular}%\label{tab:addlabel}%\end{table}%（1）试完成上述2×2列联表，并依此数据判断是否有99.5\%以上的把握认为是否“关注奥运会”与性别有关？（2）若从参与调查且平均每天观看奥运会时间不低于110分钟的员工中抽取4人，用$\xi$表示抽取的女员工数，求$\xi$的分布列与期望值。已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,a<6)$的离心率为$e$，左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1,F_2$作直线$l:y=x+6$的两条垂线，垂足分别为C,D，且四边形CDF$F_2$的面积为63。（1）求椭圆E的标准方程；（2）若x轴上有两点A(-t,0),B(t,0)(t>0)，点P在椭圆上，直线PA,PB的斜率分别为$k_1,k_2$，直线PA,PB分别与直线$x=6$交于M,N两点。①若$k_1k_2$为定值，求t的值；②在①的条件下，求$|MN|$的最小值。已知函数$f(x)=x-\frac{2m-1}{x+1}-2m\ln(x+1)+1(m$为常数$)$。（1）若$y=f(x)$在$x=1$处的切线与直线$4x+5y+2017=0$垂直，求函数$y=f(x)$的极值；22．（10分）选修4-4坐标系与参数方程已知圆C的直角坐标方程为$(x-1)^2+(y-1)^2=2$，直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=1-2t\\y=m+\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$（其中$t$为参数，$m$为常数）。（1）以原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程。解：设圆C的极坐标方程为$r=f(\theta)$，则圆C的直角坐标方程为$(x-1)^2+(y-1)^2=2$可化为$r^2-2r\cos\theta+2=0$。由于圆C在第一象限，且原点为极点，所以$r>0$，$0<\theta<\frac{\pi}{2}$。因此，$$\begin{aligned}r^2-2r\cos\theta+2&=0\\r&=\frac{2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^2\theta-8}}{2}\\&=\cos\theta\pm\sqrt{2-\cos^2\theta}\end{aligned}$$由$r>0$，得$r=\cos\theta+\sqrt{2-\cos^2\theta}$。故圆C的极坐标方程为$r=\cos\theta+\sqrt{2-\cos^2\theta}$。（2）若点$P$的坐标为$(1,m)$，直线$l$与圆C交于$A,B$两点，$|PA|\cdot|PB|=2$，求实数$m$的值。解：由题意，点$P$在圆C上，即$(m-1)^2+(1-1)^2=2$，解得$m=0$或$m=2$。当$m=0$时，直线$l$的方程为$\begin{cases}x=1-2t\\y=\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$。将直线$l$的参数方程代入圆C的方程，得$$(1-2t-1)^2+\left(\frac{2t}{\sqrt{2}}-1\right)^2=2$$化简得$t=\pm\frac{1}{2}$，即直线$l$与圆C交于$A\left(\frac{3}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，$B\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。此时，$|PA|\cdot|PB|=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1\neq2$，不符合题意。当$m=2$时，直线$l$的方程为$\begin{cases}x=1-2t\\y=2+\frac{2t}{\sqrt{2}}\end{cases}$。将直线$l$的参数方程代入圆C的方程，得$$(1-2t-1)^2+\left(2+\frac{2t}{\sqrt{2}}-1\right)^2=2$$化简得$t=-\frac{1}{2}$，即直线$l$与圆C交于$A\left(\frac{3}{2},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$，$B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。此时，$|PA|\cdot|PB|=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=3\neq2$，不符合题意。综上所述，实数$m$的取值只能是$m=2$。答案：$m=2$。23．（10分）选修4-5不等式选讲已知函数$f(x)=|x|+|x-m|$。（1）当$m=2$时，解关于$x$的不等式$f(x)<4$；（2）若对任意实数$t\in(-1,+\infty)$，不等式$f(t)\leqt+1$恒成立，求实数$m$的取值范围。（1）解：当$m=2$时，$f(x)=|x|+|x-2|$。当$x<0$时，$f(x)=-x-x+2=2-2x$；当$0\leqx<2$时，$f(x)=x-x+2=2$；当$x\geq2$时，$f(x