《LTI系统描述》课件

线性时不变（LTI）连续系统的描述线性时不变（LTI）连续系统的描述2.1微分方程的列写

根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。

元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。2.1微分方程的列写根据实际系统的物理特性电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表并联电路系统的二阶微分方程。例：求并联电路的端电压与激励间的关系。解：微分方程的列写电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一用p表示微分算子，即有1/p表示积分算子，即有算子法列写电路的微分方程由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：注意：这里的P只是代表微分运算的一个算子（1/P是代表积分运算），P并不是变量。用p表示微分算子，即有1/p表示积分算子，即有算子法列

算子模型：R：

算子模型：L：4．RLC微分算子方程的建立：（1）R、L、C元件的算子模型：C：算子模型：算子模型：R：算子模型：L：4．RLC微分算子方例1：例2：微分算子方程：或：

例1：例2：微分算子方程：或：2．微分算子的性质（规定）：（1）P的正幂多项式可以因式分解；可表示为：（2）设A(P)、B(P)为P的正幂多项式；（3）微分算子方程两边的公因子不能随意消去；则：例：，不等于,不等于例：2．微分算子的性质（规定）：（1）P的正幂多项式可以因式分解(4)A(P)、B(P)、D(P)为P的正幂多项式：但例：但(4)A(P)、B(P)、D(P)为P的正幂多项式：但例：§2.2微分方程

经典求解法§2.2微分方程

经典求解法微分方程的一般形式或者一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。微分方程的一般形式或者一个线性连续LTI系统，可以用下面一般

一般将激励信号加入的时刻定义为t=0

，响应为时的方程的解，初始条件:齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意：重根情况处理方法特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。经典法全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根线性时不变系统经典求解特征根齐次解的形式单根k重实根k重复根线性时不变系统经典求解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k例：求微分方程的完全解解:齐次方程为

特征方程：特征根：该方程的齐次解为：激励函数中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：例：求微分方程的完全解解:齐次方程为激励函数中a=代入原微分方程得求得所以特解为完全解为代入初始条件求得所以有代入原微分方程得求得所以特解为完全解为代入初始条§2.3零输入响应和

零状态响应§2.3零输入响应和

零状态响应系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)系统响应划分自由响应＋强迫响应零输入响应＋零状态响应暂态响应

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。

是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：暂态响应：稳态响应：强迫响应：零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与例：求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条件得零输入响应为零输入响应例：求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。零状态响应

系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷解：解：解得对系统线性的进一步认识解得对系统线性的进一步认识§2.4冲激响应和阶跃响应§2.4冲激响应和阶跃响应二阶系统微分方程：二阶系统微分算子方程：系统传输算子：则

H(P)称为系统的传输算子。3、系统的传输算子：（1）微分算子方程：令二阶系统微分方程：二阶系统微分算子方程：系统传输算子：则H一．冲激响应1．定义

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。说明:在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励看响应，不同，说明其系统特性不同，

冲激响应可以衡量系统的特性。一．冲激响应1．定义系统在单位冲激信号响应及其各阶导数(最高阶为n次)2.冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示激励及其各阶导数(最高阶为m次)令

e(t)=(t)

则

r(t)=h(t)

响应及其各阶导数(最高阶为n次)2.冲激响应的数学模型对于线2由H(P)求h(t)

即：即：∴，，为常数⑴简单情况1：，得：上式乘以上式两边积分：即：2由H(P)求h(t)即：即：∴，，为常数⑴简单情况1⑵简单情况2：则设得上式积分得：∴推论：，⑵简单情况2：则设得上式积分得：∴推论：，⑶简单情况3：，⑷一般情况：由情况1，情况2得：例：证明：⑶简单情况3：，⑷一般情况：由情况1，情况2得：例：证明：求h(t)的一般方法：第一步：对H(P)进行部分分式展开；第二步：分别求出个分式对应的冲激响应；第三步：h(t)等于各分式对应的冲激响应之和。

3．有理分式的部分分式展开H(P)为有理真分式（1）H(P)的极点为单极点：(先用长除法将H(p)先化为真分式)求h(t)的一般方法：第一步：对H(P)进行部分分式展开；第（2）H(P)的极点为重极点：（3）H(P)的极点为单极点和重极点:例：（2）H(P)的极点为重极点：（3）H(P)的极点为单极点和例1:

，求

，解：解：，，，，例2:

，求∴∴例1:，求，解：解：，，，，例2:，求∴∴§2.5卷积§2.5卷积一．利用卷积求系统的零状态响应任意信号e(t)可表示为冲激序列之和这就是系统的零状态响应。若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为一．利用卷积求系统的零状态响应任意信号e(t)可表二．卷积定义（Convolution）主要利用卷积来求解系统的零状态响应。设有两个函数，积分称为的卷积积分，简称卷积，记为二．卷积定义（Convolution）主要利用卷积来求解系统二．卷积定义（Convolution）常见函数的卷积：二．卷积定义（Convolution）常见函数的卷积：三．卷积的计算卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数u(t)确定积分限利用图解说明确定积分限

用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

积分变量改为时延3.相乘4.乘积的积分2.1.对τ延时t，－(τ-t)=t-

τ积分结果为t的函数三．卷积的计算卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃

卷积积分例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)当t<τ，即τ>t时，ε(t-τ)=0卷积积分例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。下面举例说明。演示二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：演示例2f(t),h(t)

如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]采用图解法求卷积。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1时,f(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。

f(t)换元f(τ)④2≤t≤3

时0例2f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例3：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。(1)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。

(2)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。信号无起因时：

一般数学表示：

(3)积分限由存在的区间决定，即由的范围决定。四．对卷积积分的几点认识(1)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了总结求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零状态响应：完全解=齐次解+特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；总结求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零§2.8卷积的性质§2.8卷积的性质一．代数性质1．交换律2．分配律3．结合律系统并联运算系统级联运算一．代数性质1．交换律2．分配律3．结合律系统并联运算系统级系统并联系统并联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。返回系统并联系统并联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲系统级联系统级联，框图表示：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

系统级联系统级联，框图表示：结论：时域中，子系统级联时，总二