浙江省金华市东阳中学2022-2023学年高二上学期7月月考数学试题

东阳中学新高二7月月考试卷数学一．选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)1．若，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知m、n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面．若直线l满足，，，，则（）A．时， B．时， C．时， D．时，3．已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为x，方差为，则（）A．， B．， C．， D．，4．已知，，，则（）A． B． C． D．5．已知函数，现将的图象向右平移一个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（）A．[－1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．6．设a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对应边的边长，则，，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数，则不等式的解集为（）A． B．或 C． D．8．已知向量,满足：，．设与的夹角为，则的最大值为()A． B. C． D．二．多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)9．下列化简正确的是（）A． B．C． D．10．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（）A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D．甲成绩比乙成绩稳定11．在中，，，，点D为直线BC上的点．则（）A．当时，B．当时，C．当AD为∠BAC的角平分线时，D．当时，AD为∠BAC的角平分线12．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，点E在线段AB上，现将沿DE折起为，记二面角的平面角为，底面BCDE，垂足为O，则下列说法正确的是（）A．不存在，使得B．若，则存在，使得平面BCDE⊥平面C．若，则四棱锥体积的最大值为D．当时，OB的最小值为三．填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．东阳市2022年入冬第一周出现了“小阳春”，气温跟往年比偏高，这一周（11月6日至11月12日）的日最高气温（单位：℃）分别为21，23，23，22，25，21，20，则这周的日最高气温的75%分位数是______℃．14．从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为______．15．已知球O的球面面积为，四面体SABC的四个顶点均在球面上，且SA⊥平面ABC，SA=6，，则该四面体的体积的最大值是______．16．在中，若，则的最大值为______．四．解答题(共6小题，满分70分)17．已知函数．(1)求的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在上的值域．18．(Ⅰ)在复数范围内解方程：；(Ⅱ)如图，在矩形ABCD中，，，E为BC中点，点F在边CD上，若，求的值．19．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500)元．(1)求月收入在[3000，3500)的频率；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000)的应抽取多少?20．如图，在三棱柱中，点B₁在底面ABC内的射影恰好是点C，点D是AC的中点，且．(1)证明：．(2)已知，，，，求直线与平面所成角的正弦值．21．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率．22．已知函数是偶函数．(1)求m的值；(2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．答案1．由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，1)，所在象限为第二象限．故选：B．2．因为m，n为异面直线，所以在空间到一点P，作，，则，，即l垂直于与确定的平面，又平面，平面，所以平面，平面，所以平面既垂直平面，又垂直平面，所以与相交，且交线垂直于平面，故交线平行于l，故选：D．3．某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，，方差为，则，∴故选：C．4．，∵，∴，∵，∴，∴，故选：D．5．函数，现将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；由于，故，故，故．故选：A．6．依题，，，若，根据正弦定理，由B为内角，知或；若，根据正弦定理，由，又B为内角，知；故“”是“”的必要不充分条件；综上所述，答案选择：B7．函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域R上单调递减，∵，∴，解得：，即不等式的解集为．故选：D．8．根据题意，设向量,夹角为，，则，若，则，变形可得，则有，解可得，则，则分析可得：当即时，取得最小值，又由，则，故当取得最小值时，取得最大值，且其最大值为，故选：A．9．ABC10．由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以，故选项A正确；由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，所以，故选项B错误，选项D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C错误．故选：AD．11．对于A，因为在中，，可得，又，，由正弦定理，可得，可得，故A正确；对于B，当时，又，，在中，由正弦定理，可得，解得，因为，所以，可得，故B正确；对于C，因为当AD为∠BAC的角平分线时，可得，又，可得又，在中，由正弦定理，可得，可得，故C正确；对于D，当时，在中，由正弦定理，可得，可得，因为，所以，或75°，可得，或60°，又，可得，或0°，矛盾，故D错误．故选：ABC．12．作，垂足为F，点O在直线AF上，对于A，当E为AB的中点且时，，垂足为F，由已知可得，又，AC，平面，所以平面，又平面，则，故选项A错误；对于B，当时，，当点O即为点G时，平面BCDE，又平面，所以平面平面，故选项B正确；对于C，当时，，若四棱锥的体积最大，则，即点O为点F，此时，，则四棱锥的体积为故选项C正确；对于D，点O的轨迹是以AD为直径的一段圆弧，记AD的中点为M，则OB的最小值为，故选项D错误．故选：BC．13．依题意将数据从小到大排列为20，21，21，22，23，23，25，又7×75%=5.25，所以第75%分位数为第6个数即23．故答案为：2314．【解析】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A，事件A包括以下21种情况：(7，1)，(7，2)，(7，3)，(7，4)，(7，5)，(7，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，而有放回地连续抽取2张卡片共有7×7=49(种)不同情况，则．15．如图，设球的半径为R，∵球面面积为，即，∴R=5，∵平面ABC，SA=6，满足侧棱⊥底面，可转化为直棱柱外接球计算，设外接球的半径为r，锥高由题可知，，即，解得r=4，由正弦定理可知，，∴，由余弦定理可知，即，当且仅当时取等号，当面积最大时，四面体的体积取最大值，∴四面体的体积的最大值为故答案为：．16．首先证明：在中，有在中，由余弦定理得，由正弦定理得令上述两式相加得所以，∵，∴，∴当，即时，，此时的值最大，最大值为．故答案为：．17．(1)∵∴的最小正周期；令，解得：，∴的对称轴方程为．(2)当时，，∴，即在上的值域为．18．(Ⅰ)方程：可化为，所以，解得原方程的根为-2+i或-2-i．(Ⅱ)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，．设，由，解得，所以19．解：(1)月收入在[3000，3500)的频率为0.0003×(3500-3000)=0.15．(2)因为0.0002×(1500-1000)=0.1，0.0004×(2000-1500)=0.2，0.0005×(2500-2000)=0.25，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为(元)．(3)居民月收入在[2500，3000)的频率为0.0005×(3000-2500)=0.25，所以10000人中月收入在[2500，3000)的人数为0.25×10000=2500(人)．再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000)的这段应抽取(人)．20．(1)证明：∵点在底面ABC内的射影是点C，在中，∴平面ABC，∵平面ABC，∴．在中，，∴，，∵，∴平面．∵平面，∴．(2)以B为坐标原点，过点B作，以的方向为z轴的正方向，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，,，设平面的法向量为，则即可取又，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为．21．(1)依题意，甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．故甲队最后赢得整场比赛的概率为．(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为．甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x取值为2或4．若甲乙比分为16∶14，则x取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，∴，若甲乙比分为17∶15，则x取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，若甲乙比分为17∶15，则x取值为4，其赢球顺序为“甲