数学模型-数学模型实例（小学数学课件）

公平席位问题——比例的应用公平席位问题——比例的应用教师如何在小学课堂中有效引导学生解决公平的席位问题——比例的应用，并渗透模型化思想呢？不符合情况公平席位问题——比例的应用实际问题建立模型模型求解原问题解分析验证解决问题某村小学共有学生200名,分别在三个教学点上学，A教学点有100名学生，B教学点有60名学生,C教学点有40名学生,学校决定成立少先队大队委员会，共设20个大队委员（代表）。问题：你打算如何将这20个名额公平地分配给这三个教学点?联系实际，解决问题思路：每10个人可选一个代表（委员），按比例分配1004020060104620联系实际，解决问题设计合理情况如：人员调动发生了变化……C教学点有3名学生转入A教学点有3名学生转入B教学点｛情景变化，新的尝试提出疑问：还能按照原来的方法公平分配吗？教学点学生人数学生人数比例20个代表的分配比例分配的代表数A103/200B63/200C34/200总和103342006310.33.46.320情景变化，新的尝试

高维空间中的“四舍五入”。103342006310.33.46.320206103+1情景变化，新的尝试委员们决定选出一个大队长，但甲和乙两位候选人各得10票，出现投票数10:10的平局。为了避免平局，委员会的组建一般都设奇数个“席位”，所以学校决定增加1个委员（代表），大队委员会将由21位组成。教师再次设计变化，问题逐步升级难度升级，寻求方法引导：这时我们应该如何分配这21个名额呢？教学点学生人数学生人数比例21个代表的分配比例分配的代表数A103/200B63/200C34/200总和10334200633.5706.6152110.815难度升级，寻求方法C教学点要找校长评理了!学生看到“不公平”。教学点学生人数21个代表的分配比例分配的代表参照惯例结果ABC总和103342006310.8153.5706.615216+110+1321难度升级，寻求方法总结：解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。讲解:建立数量指标

人数和席位都是整数就不会发生争议，但按比例分配通常会出现席位数不是整数，这时席位分配可能出现不公平。记P＝人数/席位，P的意义就是一个“代表”所代表的人数。P的值较大（就是说，平均每个代表的人数越多），他这一方就“吃亏”，或者说对这一方不公平。以A教学点为例，教学点的固定人数，分配的席位（可变）。比如：A教学点只得1个席位，P＝103/1=103；A教学点只得2个席位，P＝103/2=51.5；A教学点只得3个席位，P＝103/3=34.33；……舍弃常规，建立指标列出表格学生可以更直观观察：1234567891011--ABC10351.534.3325.7520.66331.52115.7512.6341711.338.56.817.1714.7212.8611.4410.39.3610.597.8873.65.735.674.864.253.783.43.09舍弃常规，建立指标难度升级，寻求方法总结，例如：制定席位相对公平方案的原则是对谁“不公平”，也就是谁“吃亏”了，谁就应该得到下一席。席位分配模型中，按比例分配法存在较大缺陷，惯例（最大剩余法）出现了悖论

,最后提出“相对不公平度”指标，在这个前提下得到的方法基本是公平的。公说公有理婆说婆有理数学建模没有固定、唯一的答案。数学建模数学模型的建立既需要对现实问题深入细微的观察和分析，又需要灵活巧妙地利用各种数学知识。建模过程中，只要所用的数学知识合理，所建立的数学模型可用，就是“正确答案”。香港某厂，业绩为：

年份2016年2017年2018年

股东红利5百万7.5百万1千万

工资总额1千万1.25千万1.5千万例如：老板所画年份盈利\百万10515201620172018股东工资工会主席所画年份盈利\百万100％201620172018200％150％股东工资没有对错之分，只是出发点不同。欧拉巧围羊圈与“等周问题”欧拉被数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一。在瑞士的钱币和许多国家的邮票上都有这位伟大数学家的身影。欧拉巧围羊圈欧拉巧围羊圈利用欧拉小时候巧围羊圈的实例，运用讲故事的方式，引出“等周问题”，渗透建模思想。具体过程如下：故事激趣：小时候的欧拉经常帮爸爸放羊，羊群渐渐增多了，原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺子量出了一块长方形的土地。15m40m面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。欧拉巧围羊圈正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米。（15+15+40+40=110）发现问题：若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。欧拉巧围羊圈15m40m小欧拉以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，也变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。15m40m边长25m的正方形问题：为什么这样做呢？欧拉巧围羊圈欧拉机智解决：带领学生学生计算，最后发现羊均占地面积变成了6.25m2

。边长25m的正方形问题：从欧拉的故事中能得到什么启发呢？

怎样能使羊圈的面积变大，有哪些数学问题值得我们去探究呢？从而引出“等周问题”。欧拉巧围羊圈询问：周长不变的条件下：

（1）怎样围成矩形，可以使它的面积能增大？（2）什么样的矩形面积最大？

“等周问题”把问题简单化、具体化：假设篱笆的长为20厘米，用20厘米的篱笆围羊圈。想一想：有几种围法？“等周问题”长/m宽/m周长/m面积/m²

知识锦囊：引导学生填表归纳：认真观察表格，你有什么发现？在周长相等的情况下，怎样才能使图形的面积最大？长/m宽/m周长/m面积/m²912098220

167320

216420

24552025“等周问题”问题：