【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 两个三角形相似的判定方法(原卷版)

两个三角形相似的判定方法考点一两角对应相等，两个三角形相似考点二两边成比例且夹角相等，两个三角形相似考点三三边对应成比例，两个三角形相似考点四补充条件使两个三角形相似考点一两角对应相等，两个三角形相似1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得．求证：．7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，(1)求证：；(2)若，求的长；9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，(1)求证：(2)求证：10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．（1）求证：；（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∽△ADE；(2)求证：AD是⊙O的切线．12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．考点二两边成比例且夹角相等，两个三角形相似1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图，是的边上的一点，，，．求证：．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．(1)求证：△ABC与△BCD相似：(2)求∠A的度数6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求证：DE·BF＝EF·BC．8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．(1)则_____°，______；(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．考点三三边对应成比例，两个三角形相似1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图，与的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断与是否相似，并说明理由；(2)求的度数．3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：（1），，∠A=40°，，；（2），，，，，．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．考点四补充条件使两个三角形相似1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．5．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件___，可以使△AOD与△BOC相似．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件