【学霸提优】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 解一元二次方程(解析版)

解一元二次方程考点一解一元二次方程——直接开平方法考点二解一元二次方程——配方法考点三根据判别式判断一元二次方程根的情况考点四解一元二次方程——公式法考点五解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）考点六解一元二次方程——换元法考点一解一元二次方程——直接开平方法例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：（1）x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)；(4)100（x－1）2＝121．【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)；(4)x1＝x2＝－【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式然后选取适当的方法即可求解．【详解】解：（1）．（2）4（x﹣1）2＝9则（x﹣1）2＝故x﹣1＝±解得：x＝或x＝﹣．(3)移项得：开平方得：解得：；(4)解∶（x－1）2＝x－1＝±即x1＝x2＝－．【点睛】本题考查一元二次方程的解法熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．【变式训练】1.（2022·广东·模拟预测）方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】先移项化为再利用直接开平方的方法解方程即可.【详解】解：即或故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.2．（2022·全国·九年级）将4个数abcd排成2行、2列两边各加一条竖直线记成

定义

＝ad﹣bc上述记号就叫做2阶行列式．若则x＝___．【答案】【解析】【分析】根据题中已知的新定义列出式子然后化简得到关于x的一元二次方程开方即可求出x的值．【详解】解：∵∴∴x2﹣4x+1＝0∴x2﹣4x+4＝﹣1+4∴∴∴x＝故答案为：．【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程理解并运用新定义是解题的关键．考点二解一元二次方程——配方法例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先移项然后配方再开平方求出方程的解即可；（2）先移项然后分解因式最后求出方程的解即可．(1)解：移项得：配方得：即开平方得：∴．(2)解得．【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程熟练进行配方和因式分解是解题的关键．【变式训练】1.（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程变形后的结果正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先将二次项配成完全平方式再将常数项移项即得答案．【详解】解：∵∴即故选：D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程熟练掌握配方法是解题关键．2.（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：．【答案】,【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【详解】解：x2+4x=8x2+4x+4=8+4．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程解决问题的关键是降次．考点三根据判别式判断一元二次方程根的情况例题：（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中没有实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A．选项实数根为故该一元二次方程有两个相等的实数根；B．选项实数根为和故该一元二次方程有两个不相等的实数根；C．选项依题意得：则故该一元二次方程没有实数根；D．选项实数根为故该一元二次方程有两个相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式时一元二次方程有实数根．【变式训练】1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根则c的值是（

）A．36 B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到然后解关于c的一次方程即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根∴解得故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系关键是分清楚以下三种情况：当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程无实数根．2．（2022年河南省洛阳市中招第二次调研数学试题）关于x的一元二次方程有两个实数根则a的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程可知根据方程有两个实数根得综合求解即可．【详解】∵方程是一元二次方程且有两个实数根∴解得：且故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．但要注意一元二次方程的二次项系数非零．考点四解一元二次方程——公式法例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x2-5x+1＝0(公式法)(2)．（公式法）【答案】(1)x1＝x2＝；(2)【解析】【分析】（1）根据公式法可得方程的解；（2）先计算根的判别式再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a＝2b＝-5c＝1∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17∴x＝∴x1＝x2＝．(2)解：则解得：【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．【变式训练】1.（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1）(2)解：方程中的则故．【点睛】本题考查了解一元二次方程熟练掌握解方程的方法是解题关键．2.（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解这个一元二次方程．【答案】(1)-1(2)【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可一元二次方程定义只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程即可．(1)关于x的方程是一元二次方程解得(2)方程为即解得【点睛】本题考查了一元二次方程的定义解一元二次方程正确的计算是解题的关键．考点五解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通过移项分解因式化为一元一次方程即可求解；（2）通过移项分解因式化为一元一次方程即可求解．(1)解：x2﹣4x＝5移项得：x2﹣4x-5=0分解因式得：（x-5）（x+1）=0∴x-5=0或x+1=0解得：；(2)解：2（x+1）2＝x（x+1）移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0∴x+1=0或2x+2-x=0解得：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程掌握因式分解法解方程是解题的关键．【变式训练】1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)或；(2)或【解析】【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；（2）运用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵∴解得：或；(2)∵∴解得：或．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：∴(2)∴【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法因式分解是解本题的关键．考点六解一元二次方程——换元法例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3x2=−5则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】设t=y+1则原方程可化为at2+bt+c=0根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3x2=-5得到t1=3t2=-5于是得到结论．【详解】解：设t=y+1则原方程可化为at2+bt+c=0∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3x2=-5∴t1=3t2=-5∴y+1=3或y+1=-5解得y1=2y2=-6．故选：B．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程关键是正确找出两个方程解的关系．【变式训练】1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料再参照例子解答问题：已知求的值．解：设则原方程变形为即∴得t1＝﹣2t2＝1∴或已知求的值．【答案】【解析】【分析】先换元再求出t的值最后求出答案即可．【详解】解：设∴即∴解得：（舍去）∴即的值为．【点睛】本题考查了解一元二次方程能够正确换元是解此题的关键．2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：将x2﹣1视为一个整体然后设x2﹣1＝y则（x2﹣1）2＝y2原方程可化为y2﹣5y+4＝0解得y1＝1y2＝4．（1）当y＝1时x2﹣1＝1解得x＝±；（2）当y＝4时x2﹣1＝4解得x＝±．综合（1）（2）可得原方程的解为x1＝x2＝﹣x3＝x4＝﹣．参照以上解法方程x4﹣x2﹣6＝0的解为_____．【答案】【解析】【分析】仿照范例可以设则原方程化为一元二次方程：先解出y的值再进一步解出x的值．【详解】解：设则原方程可化为：解得：y1＝3y2＝﹣2（1）当y＝3时x2＝3解得x1＝x2＝（2）当y＝﹣2．时x2＝﹣2此方程无实数根综合（1）（2）可得原方程的解是：x1＝x2＝故答案为：x1＝x2＝【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时把某个式子看成一个整体用一个变量去代替它从而使问题得到简化这叫换元法．换元的实质是转化关键是构造元和设元理论依据是等量代换目的是变换研究对象将问题移至新对象的知识背景中去研究从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化变得容易处理．一、选择题1．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时配方后正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1左边化为完全平方式右边合并即可得到结果．【详解】解：x2-2x=2x2-2x+1=2+1即（x-1）2=3．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．2．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根． B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【解析】【分析】把a=1b=-8c=16代入Δ=b2-4ac进行计算然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵a=1b=-8c=16∴Δ=b2-4ac=（-8）2-4×1×16=0所以方程有两个相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0abc为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时方程没有实数根．3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若关于x的方程有实数根则m的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根据方程有实数根利用根的判别式然后解关于的不等式即可求出的范围再根据选项判断即可．【详解】解：∵关于的方程有实数根∴∴或选项中只有3满足条件故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程没有实数根．4．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（

）A．x1＝﹣3x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1【答案】A【解析】【分析】根据已知分解因式和方程得出x＋3＝0x−1＝0求出方程的解即可．【详解】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式∴x+3＝0x﹣1＝0解得：x1＝﹣3x2＝1即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3x2＝1故选：A．【点睛】本题考查了解分解因式法解一元二次方程能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．5．（2022·河北张家口·一模）于实数ab先定义一种新运算“★”如下：a★b=若则实数m等于（

）A．6 B．2 C．2或 D．2或或6【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：当m≤1时当m＞1时再分别根据新定义列出方程再解方程即可．【详解】解：当m≤1时则1★m=m+2=8解得：m=6故无解；当m＞1时则1★m=m2+2m=8解得：m1=2m2=-4∴m=2综上m=2故选：B．【点睛】本题考查新定义一元二次方程解法理解新定义列出方程是解题的关键．二、填空题6．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．【答案】【解析】【分析】先移项再利用因式分解法解答即可求解．【详解】解：移项得：∴∴或解得：故答案为：．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．7．（2022·辽宁丹东·九年级期末）将方程配方成的形式为______．【答案】【解析】【分析】先将-9移到等号右边变成然后等号左右两边同时除以2得到最后等号左右两边同时加上1再把左边变成完全平方的形式即可．【详解】解：

故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的配方掌握如何配方是解题关键．8．（2022·吉林白山·二模）若关于x的一元二次方程无实数根则c的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】因为无实数根即无实数根根据根的判别式求出c的取值范围即可．【详解】∵无实数根∴无实数根∴解得∴当时方程无实数根故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根正确找到abc的值是解答本题的关键．9．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）已知关于的方程有两个实数根则的取值范围为___________．【答案】且【解析】【分析】根据当时方程有两个实数根求解不等式得到答案．【详解】∵当时方程有两个实数根∴∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查一元二次方程组的性质解题的关键是熟练掌握一元二次方程组的相关知识．10．（2022·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程（abc为常数且）此方程的解为．则关于x的一元二次方程的解为______．【答案】或##或【解析】【分析】将和分别代入可求得之间的等量关系代入一元二次方程即可消去参数从而解一元二次方程即可．【详解】解：一元二次方程的解为解得一元二次方程可化为解得．一元二次方程的解为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解解一元二次方程解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得之间的等量关系从而代入求解．三、解答题11．（2022·全国·九年级）解方程．(1)(2)(3)（(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程；（4）根据因式分解法解一元二次方程．(1)解：3x+2=±5解得；(2)3x2-4x-1=0△=（-4）2-4×3×（-1）=28所以；(3)（2x+1）2-3（2x+1）=0（2x+1）（2x+1-3）=02x+1=0或2x+1-3=0解得；(4)（x-2）（x-5）=0x-2=0或x-5=0解得x1=2x2=5．【点睛】本题考查了解一元二次方程掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．12．（2022·全国·九年级）按指定的方法解下列方程：(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法）(2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法）(4)5（x＋1）2＝10（直接开平方法）【答案】(1)x1＝7x2＝﹣1(2)x1＝3x2＝5(3)x1＝1x2(4)【解析】(1)x2﹣6x﹣7=0解：移项得：x2﹣6x=7配方得：x2﹣6x+9=7+9（x﹣3）2=16开方得：x﹣3=±4解得：x1=7x2=﹣1；(2)2x﹣6=（x﹣3）2解：移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0由此得：x﹣3=0或x﹣5=0解得：x1=3x2=5；(3)（3）3x2﹣4x+1=0解：方程有两个不相等的实根解得：x1=1x2=；(4)5（x+1）2=10解：（x+1）2=2解得：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．13．（2022·湖南永州·二模）已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．(1)当k=3时求一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0的解；(2)求证：无论k为何实数方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)x1=3x2=1；(2)见解析【解析】【分析】（1）用因式分解法可求出答案；（2）根据根的判别式公式得到Δ＞0即可得到答案．(1)解：当k=3时原方程变为x2-4x+3=0∴(x-3)(x-1)=0∴x1=3x2=1；(2)证明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k−3)=k2+2k+1-8k+12=k2-6k+11=(k-3)2+2＞0∴方程总有两个不相等的实数根；【点睛】本题考查了根的判别式解一元二次方程-因式分解法正确掌握根的判别式是解题的关键．14．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若的两边的长是这个方程