宁夏回族自治区银川市兴庆区第三中学2022-2023学年九年级下学期4月月考数学试题（解析版）

银川市第三中学2022-2023学年第二学期模拟测试九年级数学试卷一．选择题（共8小题，共24分）1.下列说法错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D.对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可．【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键．2.已知方程的两个解分别为、，则的值为（）A. B. C.7 D.3【答案】D【解析】【分析】由根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2，将其代入x1＋x2−x1•x2中即可得出结论．【详解】解：∵方程x2−5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，∴x1＋x2＝5，x1•x2＝2，∴x1＋x2−x1•x2＝5−2＝3．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．3.一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据树状图即可求概率.【详解】解：根据树形图，可知蚂蚁可选择的所有可能的路径有5条，有食物的两条，所以它获取食物的概率是．故选C．【点睛】本题考查求概率的方法，解决关键是画树状图.4.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为，大厅两层之间的距离为3米，则自动扶梯AB的长约为（）（，，）A.5米 B.米 C.4米 D.米【答案】A【解析】【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：，∵米，∴米，故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．5.关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.顶点坐标为（2，1） B.对称轴为x= C.a+b+c=0 D.x＜3时，y＞0【答案】C【解析】【分析】由函数图象求得顶点坐标位于第四象限，对称轴方程，结合图象得到当时，，结合图象判定函数的增减性.【详解】、如图所示，抛物线的顶点位于第四象限，故本选项错误；、如图所示，对称轴为：，故本选项错误；、如图所示，当时，，即，故本选项正确；、如图所示，当时，，故本选项错误.故选.【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.6.如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解．【详解】解：如图，点为外接圆的圆心，则为半径，故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆圆心就是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．7.设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论．【详解】∵y=（k≠0，x＞0），∴z==（k≠0，x＞0）∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限，∴k＞0，∴＞0．∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．二、填空题（共8小题，共24分）8.如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_____.【答案】．【解析】【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．【详解】解：如图；都与水平线垂直，即；易知：；，杠杆的动力臂与阻力臂之比为，即；当时，；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．故答案为．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．9.如图，在白炽灯下方有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上影子的变化情况为____（填“越小”或“越大”，“不变”）【答案】越大【解析】【分析】根据中心投影的特点可知，当乒乓球越接近灯泡时，离光源越近，影子越大，即可求解．【详解】解：根据中心投影的特点可知，当乒乓球越接近灯泡时，离光源越近，影子越大，故答案为：越大．【点睛】此题考查了中心投影的特点，等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，熟练掌握中心投影的性质是解题的关键．10.计算：______．【答案】-1【解析】【分析】将各特殊角三角函数值代入计算即可得到答案．【详解】解：===-1故答案为：-1【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊锐角三角函数值是解答本题的关键．11.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．【答案】2：3．【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，∴它们对应中线的比．故答案为：2：3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.12.若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】抛物线与x轴没有公共点，则一元二次方程在实数范围内没有解，则只要计算判别式，根据判别式为负即可求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线与x轴没有公共点，∴关于x一元二次方程在实数范围内没有解，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，实质是一元二次方程是否有实数解，考虑判别式的符号即可，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系．13.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）【答案】##【解析】【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．14.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．【答案】20%【解析】【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可.【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，整理得，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%，故答案为：20%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键.15.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，拱桥半径OC为5cm，cm，m，cm，mm，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16.如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝_____．【答案】.【解析】【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠A＝90°，求得∠ADB＝∠DBC，得到FB＝FD，设AF＝x（x＞0），则FD＝2x，求得FB＝FD＝2x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DBC＝∠DBF，∴∠ADB＝∠DBF，∴FB＝FD，∵AF：FD＝1：2，∴设AF＝x（x＞0），则FD＝2x，∴FB＝FD＝2x，∵AB2+AF2＝FB2，∴32+x2＝（2x）2，∵x＞0，∴x＝，∴AF＝，故答案为．【点睛】此题考查了四边形综合题，结合折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理解答．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．三、解答题（共10题，共72分）17.在边长为的正方形网格中如图所示．（1）以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为，且位于点的异侧，并表示出的坐标．（2）作出绕点顺时针旋转后的图形．【答案】（1）图见解析，（2）见解析【解析】【分析】（1）点与点重合，延长到使，延长到使，从而得到；（2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．【小问1详解】解：如图，所作，点的坐标为；【小问2详解】解：如图，为所作．【点睛】本题考查了作图—位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换，灵活运用所学知识是解题的关键．18.如图，AB为⊙O的一条弦．（1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可；（2）构造直角三角形，运用垂径定理求解．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：如图连接BD，OB在中，CD=2，BD=∵∴∴∴BC=4设OC=x，则OD=OB=x+2在中，由勾股定理可得：即解得：x=3∴x+2=5∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长19.2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：小明选择项目“C．花样滑冰”的概率是；故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为．【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:∵△BEF∽△CFG∴∴．【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．21.如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角为，再往山的方向（水平方向）前进至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角．（参考数据：）（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道的长（结果精确到）．【答案】（1）这座山的高度为．（2）索道长为．【解析】【分析】（1）如图，过作于，由题意可得：，，，设，而，可得，利用，再建立方程求解；（2）由，可得，再计算可得答案．【小问1详解】解：如图，过作于，由题意可得：，，，设，而，∴，而，则，∴，解得：，∴这座山的高度为．小问2详解】∵，∴．∴索道的长为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解本题的关键．22.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．【解析】【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：（1）∵依题意得，∴与的函数关系式为；（2）∵依题意得，即，解得：，，∵∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；（3）设每月总利润为，依题意得∵，此图象开口向下∴当时，有最大值为：（元），∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．23.如图，线段AB为⊙O的直径，点C、点D为半圆AB的三等分点，点F为线段AB延长线上一点，且OB=BF．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）图中阴影部分的面积为．【解析】【分析】（1）连接OD，BD，推出△OBD是等边三角形，得到∠OBD=60°，BD=OB，求得∠ODF=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件OF=4，根据勾股定理得到DF的长，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【小问1详解】证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的三等分点，∴∠BOD=∠AOB=60°，在△OBD中，∵OB=OD，∠BOD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠OBD=60°，BD=OB，∵OB=BF，BD=OB，∴BD=BF，∴∠BDF=∠F，∵∠OBD=∠F+∠BDF，∴∠F=∠BOD=30°，∵∠F=30°，∠BOD=60°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∵点D在⊙O上，∴直线DF是⊙O的切线；【小问2详解】解：∵OB=OD=2，BF=OB，∴OF=4，在Rt△ODF中，由勾股定理得，DF=，∵S△ODF=OD•DF=×2×2=2，S扇形BOD=，∴图中阴影部分面积=．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．24.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，

得，，

解得，，

所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；

如图，设直线与轴的交点为，

当时，，

，

当时，，

，

；

，，

根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集．25.为了防止蚊虫污染饭菜，小丽用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．小丽测得罩子的跨度为80厘米，高度为32厘米，小丽以罩子左边缘为原点、水平线为x轴建立平面直角坐标系(如图②)．（1）求罩子上最高的点的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）小丽的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为厘米的盘子，要使罩子紧贴水平桌面，罩子内一排能放下3个这样的盘子吗？请说明理由．【答案】（1）（2）（3）能放下；理由见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线特点以及跨度为80厘米，高度为32厘米即可求出顶点坐标．（2）由（1）设抛物线顶点式解析式为再通过经过原点求出，即可解出抛物线解析式．（3）根据罩子紧贴水平桌面，盘子平放的条件求出罩子比三个盘子的宽度多了多少，再将多出部分的一半代入解析式，若大于盘子的高度则是能放下，若小于盘子高度则是放不下．【小问1详解】解：小丽测得罩子的跨度为80厘米，高度为32厘米是关于40对称截面为抛物线形顶点坐标为故答案为：【小问2详解】解：由（1）顶点坐标为（40，32），设函数顶点式为图像过（0，0）故答案为：【小问3详解】解：能放下依题意：将带入二次函数得所以能放下故答案为：能放下【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像和性质的应用，本题解题的关键是否能根据图早出顶点坐标以及求得二次函数表达式，解题的易错点是否能正确判断出顶点的横坐标．26.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．【答案】（1）AP=EF，证明见解析；（2）成立