【解析】（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.1一元二次方程 同步分层训练（培优卷）

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.1一元二次方程同步分层训练（培优卷）

一、选择题

1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

2．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．4B．5C．6D．7

4．（2023九上·江岸月考）下列说法：

若一元二次方程

有一个根是

，则代数式

的值是

若

，则

是一元二次方程

的一个根

若

，则一元二次方程

有不相等的两个实数根

当m取整数

或1时，关于x的一元二次方程

与

的解都是整数.其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．（2023·河北模拟）欧几里得的《原本）记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是（）

A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长

6．（2023·深圳模拟）如图，某校劳动实践课程试验园地是长为，宽为的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为，则小道的宽为多少？设小道的宽为，根据题意，可列方程为（）

A．B．

C．D．

7．（2023·贺州模拟）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（）

A．B．

C．D．

8．（2023·灞桥模拟）关于x的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根（）

A．2022B．C．2022D．

9．（2023·苏州模拟）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2023·婺城模拟）如果关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，则代数式2022－a－b的值为（）

A．－2022B．2023C．2022D．2023

二、填空题

11．（2023九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

12．（2023·邛崃模拟）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为．

13．（2023九下·衡水期中）已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是.

14．（2023·河南模拟）若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是．

15．（2023八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．

三、解答题

16．（2023九上·中山期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．

17．（2023·北京）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

18．（2023九上·丹阳月考）已知m是方程x2﹣x-2=0的一个根，求代数式的值.

19．（2023九上·犍为期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解.

四、综合题

20．（2023九上·吉安期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．

（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？

21．（2023·南平模拟）已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．

（1）当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；

（2）用只含字母a，n的代数式表示b；

（3）当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．

22．（2023·香洲模拟）小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．

（1）求的值；

（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．

23．（2023九下·牡丹开学考）

（1）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求m（m+1）2-m（m+3）+4的值；

（2）一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都经过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于点B。

①求点B的坐标及反比例函数的表达式；

②点C（0，-2），若四边形ABCD是平行四边形，请在直角坐标系内画出ABCD，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由。

24．（2022八下·道外期末）在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．

（1）如图1，求点C坐标；

（2）如图2，点D在上，点E在的延长线上，且．连接，过点O作交于点G，垂足为点F．设长为m，点G的横坐标为n，求n与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求直线的解析式．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案选D。

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。

2．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，

故答案为：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

3．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案为：C．

【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，(这是做题关键)

根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

4．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0

整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；

②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；

③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，

当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，

∴△＞0，正确；

④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，

则m≠0，

∴△≥0

mx2-4x+4=0，

∴△=16-16m≥0，即m≤1；

x2-4mx+4m2-4m-5=0，

△=16m2-16m2+16m+20≥0，

∴4m+5≥0，m≥-

；

∴-

≤m≤1，而m是整数，

所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），

当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；

x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；

当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.

故m=1，故不符合题意；

故正确的有2个，

故答案为：B.

【分析】①根据方程根的定义将x=a代入方程得出ab的值即可；

②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；

④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.

5．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根；勾股定理

【解析】【解答】解：设AD=x，∴AB=x+

,

∵AC2+BC2=AB2，

∴b2+（

）2=(x+

)2,

整理得x2+ax=b2，

∴该方程的一个正根是AD的长.

故答案为：B.

【分析】设AD=x,可得AB=x+

,利用勾股定理可得出x2+ax=b2，据此判断即可.

6．【答案】A

【知识点】矩形的性质；列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵小道的宽为x米，

∴种植部分可合成长为（20-2x）米，宽为（18-x）米的矩形，

∴根据题意，可列方程为：（20-2x)（18-x）=306，

故答案为：A.

【分析】根据题意先求出种植部分可合成长为（20-2x）米，宽为（18-x）米的矩形，再列方程求解即可。

7．【答案】D

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵AB的长为x米，

∴BC的长为(18-3x+2)=(20-3x)米.

∵花圃的面积刚好为40平方米，

∴x(20-3x)=40.

故答案为：D.

【分析】由题意可得BC的长为(20-3x)米，然后根据矩形的面积公式结合题意就可列出方程.

8．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵2022是一元二次方程一个实数根，

∴，

两边同时除以得：，即：，

∴一定有实数根.

故答案为：D

【分析】将x=2022是代入方程中，可得，两边同时除以得，根据方程根的定义即得结论.

9．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：方程、，均为常数且的解是，，

对于关于的一元二次方程的解，

即或，

即，，

关于的一元二次方程的解是，.

故答案为：C.

【分析】由题意可得：方程的解为x+1=2或x+1=5，求解即可.

10．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，

∴，

∴，

∴，

故答案为：D.

【分析】根据方程解的概念可得a+b=-1，将待求式变形为2022-(a+b)，然后代入进行计算.

11．【答案】2，4，4或3，3，4

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：是方程的两个根，

，

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（2）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（3）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；

综上，此三角形的三边长是或，

故答案为：或．

【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。

12．【答案】-4

【知识点】菱形的判定与性质；列一元二次方程

【解析】【解答】a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．

∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，

解得：m＝﹣4或m＝2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，

∴m＝﹣4．

若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4，

故答案为：﹣4

【分析】设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．

13．【答案】或.

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵，∴或.

∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，

∴若，则；

若，则方程有两相等的实数根，

∴.

∴或.

故答案为：-2或-.

【分析】先由可得或，则需分两种情况考虑，第一种x1=2，将x1=2代入方程得到关于k的方程，求解即可；第二种，则△=0，同样得到关于k的方程，求解即可.

14．【答案】m≤﹣或m≥﹣

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：设关于x的三个方程都没有实根．

对于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，则有△1＜0，即△1=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣；

对于方程x2+（2m+1）x+m2=0，则有△2＜0，即△2=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣；

对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，所以m≠1，则有△3＜0，即△3=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜．

综合所得：当﹣＜m＜﹣，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．

所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是m≤﹣或m≥﹣．

故答案为：m≤﹣或m≥﹣．

【分析】对于至少或至多的问题我们都从它们的反面来求解，所以先求得三个方程都没有实根时m的取值范围，那么m在这个范围之外则为三个方程至少有一个实根时m的取值范围.

15．【答案】m=1或m>2

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】①当1-m2=0时，m=±1，

当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，

当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，

②当1-m2≠0时，

（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出

x1=，x2=

根据题意可得出，

0＜＜1，解得m＞0，

0＜＜1，解得m＞2，

综上，m=1或m＞2.

【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。

16．【答案】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，

整理得：a2﹣a＝0，

即：a（a﹣1）＝0

解得：a＝0或a＝1．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】根据题意求出（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，再解方程求解即可。

17．【答案】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m为正整数，

∴m=1，

∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，

则（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】根据关于x的方程有实数根，根据求根公式即可得到m的范围，求出方程的根即可。

18．【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一个根，

∴m2-m-2=0，

∴m2-m=2，m2-2=m，

∴

=

把m2-m=2，m2-2=m代入

原式=2×(1+1)=4.

【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2-m和m2-2，分别代入所求的式子中即可求出值.

19．【答案】解：由题意，得m29＝0，且m3≠0，

解得m＝－3.

当m＝－3时，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，

得－6x2－6x＝0，

－6x（x＋1）＝0

解得x1＝0，x2＝1.

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式，计算后可求出m的值，利用所求m的值则求出方程的解.

20．【答案】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，

当点M在OA上时，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2

【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；菱形的判定

【解析】【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．

21．【答案】（1）解：∵m＝2，且m＝n+1，

∴n＝1，

∵a＝﹣1，且m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，

∴，

解得：b＝1，c＝1

（2）解：∵m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，

∴am2+bm+c＝a，an2+bn+c＝b，

两式相减得：a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝a﹣b，

∵m＝n+1，

∴b＝﹣na

（3）解：将b＝﹣an代入ax2+bx+c＝b得，

ax2﹣anx+c＝b，

∴an2﹣an2+c＝b，

∴b＝c＝﹣na，

∵b+c≥2a，

∴c≥a，

∴﹣na≥a，

当a≤0时，n≥﹣1；

∴﹣1≤n≤﹣，

∵b2﹣4ac＝n2a2+4na2＝a，

∴＝（n+2）2﹣4，

∴﹣≤a≤﹣

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】（1）现根据已知条件求出n的值，然后再将m，n，a代入两个方程建立关于b、c的二元一次方程组，解该方程组即可得b、c的值；

（2）将m，n分别代入两个方程，两式相减，即可得出结论。

22．【答案】（1）解：由题意得，设看错的常数为，

，

∴．

（2）解：原方程为，

解方程得，．

由菱形面积公式可得：．

【知识点】一元二次方程的根；菱形的性质

【解析】【分析】（1）设看错的常数为，列出方程组，解之即可；

（2）解方程得出x的值，即可求出菱形面积。

23．【答案】（1）解：∵m是方程x2-x-1=0的一个根，

∴m2-m=1，

∴m（m+1）-m（m+3）+4=-m+m+4=-（m-m-4）=3

（2）解：①在y=2x+2中令y=0，则x=-1，

∴B的坐标是（-1，0），

∵A在直线y=2x+2上，

∴A的坐标是（1，4）．

∵A（1，4）在反比例函数y=图象上

∴k=4

∴反比例函数的解析式为：y=

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D的坐标是（2，2），

∴D（2，2）在反比例函数y=的图象上。

【知识点】一元二次方程的根；平行线的性质

【解析】【分析】（1）由m是方程x-x-1=0的一个根，将x=m代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值；（2）①在y=2x+2中令y=0，求得B的坐标，然后求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；

②根据平行线的性质即可直接求得D的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可。

24．【答案】（1）解：，

∴，

∴，

∴，

（2）解：延长交于H，

∵∠AFO=∠B=∠OAB=，

∴∠OAF+∠BAD=∠AOH+∠OAF=，

∴∠AOB=∠BAD，

∵OA=AB，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

∴G为中点，

过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，

∴是的中位线，

∴GNEM，即，

∵，

∴，

（3）解：∵，

设，

∴，

由（2）知，

∴，

∴，

∴，

连接，

，

，

∴解得，

∵，

∴，

∴，

中，，

∴，

∴；

设直线的解析式为，

∵，

∴，

∴，

∴直线解析式为：．

【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）解方程得，即得点C坐标；

（2）延长交于H，根据ASA证明△AOH≌△BAD，可得，又，再证，可得EG=GC，过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，利用三角形中位线定理可得GNEM，即，由即得结论；

（3）由，可设，，可得，连接，根据可求出，即得AD=5，由勾股定理求出BD=5，从而求出CD=5，即得D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可.

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.1一元二次方程同步分层训练（培优卷）

一、选择题

1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案选D。

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。

2．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，

故答案为：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

3．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案为：C．

【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，(这是做题关键)

根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

4．（2023九上·江岸月考）下列说法：

若一元二次方程

有一个根是

，则代数式

的值是

若

，则

是一元二次方程

的一个根

若

，则一元二次方程

有不相等的两个实数根

当m取整数

或1时，关于x的一元二次方程

与

的解都是整数.其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0

整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；

②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；

③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，

当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，

∴△＞0，正确；

④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，

则m≠0，

∴△≥0

mx2-4x+4=0，

∴△=16-16m≥0，即m≤1；

x2-4mx+4m2-4m-5=0，

△=16m2-16m2+16m+20≥0，

∴4m+5≥0，m≥-

；

∴-

≤m≤1，而m是整数，

所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），

当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；

x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；

当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.

故m=1，故不符合题意；

故正确的有2个，

故答案为：B.

【分析】①根据方程根的定义将x=a代入方程得出ab的值即可；

②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；

④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.

5．（2023·河北模拟）欧几里得的《原本）记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是（）

A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根；勾股定理

【解析】【解答】解：设AD=x，∴AB=x+

,

∵AC2+BC2=AB2，

∴b2+（

）2=(x+

)2,

整理得x2+ax=b2，

∴该方程的一个正根是AD的长.

故答案为：B.

【分析】设AD=x,可得AB=x+

,利用勾股定理可得出x2+ax=b2，据此判断即可.

6．（2023·深圳模拟）如图，某校劳动实践课程试验园地是长为，宽为的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为，则小道的宽为多少？设小道的宽为，根据题意，可列方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】矩形的性质；列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵小道的宽为x米，

∴种植部分可合成长为（20-2x）米，宽为（18-x）米的矩形，

∴根据题意，可列方程为：（20-2x)（18-x）=306，

故答案为：A.

【分析】根据题意先求出种植部分可合成长为（20-2x）米，宽为（18-x）米的矩形，再列方程求解即可。

7．（2023·贺州模拟）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：∵AB的长为x米，

∴BC的长为(18-3x+2)=(20-3x)米.

∵花圃的面积刚好为40平方米，

∴x(20-3x)=40.

故答案为：D.

【分析】由题意可得BC的长为(20-3x)米，然后根据矩形的面积公式结合题意就可列出方程.

8．（2023·灞桥模拟）关于x的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根（）

A．2022B．C．2022D．

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵2022是一元二次方程一个实数根，

∴，

两边同时除以得：，即：，

∴一定有实数根.

故答案为：D

【分析】将x=2022是代入方程中，可得，两边同时除以得，根据方程根的定义即得结论.

9．（2023·苏州模拟）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：方程、，均为常数且的解是，，

对于关于的一元二次方程的解，

即或，

即，，

关于的一元二次方程的解是，.

故答案为：C.

【分析】由题意可得：方程的解为x+1=2或x+1=5，求解即可.

10．（2023·婺城模拟）如果关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，则代数式2022－a－b的值为（）

A．－2022B．2023C．2022D．2023

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，

∴，

∴，

∴，

故答案为：D.

【分析】根据方程解的概念可得a+b=-1，将待求式变形为2022-(a+b)，然后代入进行计算.

二、填空题

11．（2023九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

【答案】2，4，4或3，3，4

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：是方程的两个根，

，

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（2）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（3）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；

综上，此三角形的三边长是或，

故答案为：或．

【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。

12．（2023·邛崃模拟）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为．

【答案】-4

【知识点】菱形的判定与性质；列一元二次方程

【解析】【解答】a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．

∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，

解得：m＝﹣4或m＝2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，

∴m＝﹣4．

若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4，

故答案为：﹣4

【分析】设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．

13．（2023九下·衡水期中）已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是.

【答案】或.

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵，∴或.

∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，

∴若，则；

若，则方程有两相等的实数根，

∴.

∴或.

故答案为：-2或-.

【分析】先由可得或，则需分两种情况考虑，第一种x1=2，将x1=2代入方程得到关于k的方程，求解即可；第二种，则△=0，同样得到关于k的方程，求解即可.

14．（2023·河南模拟）若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是．

【答案】m≤﹣或m≥﹣

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：设关于x的三个方程都没有实根．

对于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，则有△1＜0，即△1=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣；

对于方程x2+（2m+1）x+m2=0，则有△2＜0，即△2=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣；

对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，所以m≠1，则有△3＜0，即△3=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜．

综合所得：当﹣＜m＜﹣，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．

所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是m≤﹣或m≥﹣．

故答案为：m≤﹣或m≥﹣．

【分析】对于至少或至多的问题我们都从它们的反面来求解，所以先求得三个方程都没有实根时m的取值范围，那么m在这个范围之外则为三个方程至少有一个实根时m的取值范围.

15．（2023八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．

【答案】m=1或m>2

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】①当1-m2=0时，m=±1，

当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，

当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，

②当1-m2≠0时，

（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出

x1=，x2=

根据题意可得出，

0＜＜1，解得m＞0，

0＜＜1，解得m＞2，

综上，m=1或m＞2.

【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。

三、解答题

16．（2023九上·中山期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．

【答案】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，

整理得：a2﹣a＝0，

即：a（a﹣1）＝0

解得：a＝0或a＝1．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】根据题意求出（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，再解方程求解即可。

17．（2023·北京）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【答案】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m为正整数，

∴m=1，

∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，

则（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】根据关于x的方程有实数根，根据求根公式即可得到m的范围，求出方程的根即可。

18．（2023九上·丹阳月考）已知m是方程x2﹣x-2=0的一个根，求代数式的值.

【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一个根，

∴m2-m-2=0，

∴m2-m=2，m2-2=m，

∴

=

把m2-m=2，m2-2=m代入

原式=2×(1+1)=4.

【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2-m和m2-2，分别代入所求的式子中即可求出值.

19．（2023九上·犍为期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解.

【答案】解：由题意，得m29＝0，且m3≠0，

解得m＝－3.

当m＝－3时，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，

得－6x2－6x＝0，

－6x（x＋1）＝0

解得x1＝0，x2＝1.

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式，计算后可求出m的值，利用所求m的值则求出方程的解.

四、综合题

20．（2023九上·吉安期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．

（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？

【答案】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，

当点M在OA上时，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2

【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；菱形的判定

【解析】【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．

21．（2023·南平模拟）已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．

（1）当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；

（2）用只含字母a，n的代数式表示b；

（3）当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．

【答案】（1）解：∵m＝2，且m＝n+1，

∴n＝1，

∵a＝﹣1，且m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，

∴，

解得：b＝1，c＝1

（2）解：∵m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，

∴a