理论力学-动量定理-动能定理课件

第十一章动量定理1第十一章动量定理1§11–1动力学普遍定理概述§11–2质点的动量定理§11–3质点系的动量定理§11–4质心运动定理第十一章动量定理2§11–1动力学普遍定理概述第十一动力学1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。§11-1动力学普遍定理概述对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。实际上的问题是：3动力学1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)§11-1动力动力学从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。

它们以简明的数学形式，表明两种量——一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等)——之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。4动力学从本章起,将要讲述解答动力学问题的动力学本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。5动力学本章中研究质点和质点系的动量定理，建立动力学§11-2质点的动量定理

一、动量

1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v相同。单位是kgm/s。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。二、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量。6动力学§11-2质点的动量定理一、动量动量是度量物体机械2．力是变矢量：（包括大小和方向的变化）

元冲量：

冲量：1．力是常矢量：动力学冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。72．力是变矢量：（包括大小和方向的变化）1．力是常矢量：动力学3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．冲量的单位：与动量单位同．8动力学3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．冲量的单三、质点的动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）动力学—质点的动量定理微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）积分形式：9三、质点的动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（投影形式：质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿x轴的运动是惯性运动动力学10投影形式：质点的动量守恒动力学10动力学§11-3质点系的动量定理一、质点系的质心内力与外力

1.质点系的质心

质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。质心C点的位置：11动力学§11-3质点系的动量定理一、质点系的质心动力学

在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。12动力学在均匀重力场中，质点系的质心与重心的动力学内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：2.质点系的内力与外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。13动力学内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。2.质动力学1.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：

2.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：二、质点系的动量14动力学1.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。质三、质点系的动量定理

质点系的动量定理动力学对整个质点系：对质点系内任一质点i，质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。15三、质点系的动量定理质点系的动量定理动力学质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。

在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。­积分形式)(12eiSKKå=-¬eiKieSdtFå微分形式

)()(dd==å动力学16质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢

®投影形式：å=)(eixxFdtdKå=)(eiyyFdtdKå=)(eizzFdtdKååò==-21)()(12tteixexxdtFSixKKååò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyKKååò==-21)()(12tteizezzdtFSizKK动力学17®投影形式：å=)(eixxFdtdKå=)(eiyyFd

若则常矢量。若则常量。只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。质点系的动量守恒动力学18若则常矢量。只有外力

[例1]质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。动力学解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。小三角块相对大三角块速度为，则小三角块设大三角块速度运动分析，19[例1]质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上动力学由水平方向动量守恒及初始静止；则20动力学由水平方向动量守恒及初始静止；则20运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab。

[例2]流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。动力学解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。21运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab。[例动力学由质点系动量定理；得22动力学由质点系动量定理；得22静反力，动反力

计算时，常采用投影形式与相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．动力学即23静反力，动反力计算§12-4质心运动定理将代入到质点系动量定理，得若质点系质量不变，则或动力学

上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。24§12-4质心运动定理将代入到质点系动量定理动力学1.投影形式：①②2.刚体系统：设第i个刚体mi，vCi，则有或25动力学1.投影形式：①②2.刚体系统：设第i个刚

3.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。动力学

只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。263.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点

4.质心运动守恒定律

若，则常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即则常矢量,质心位置守恒。若则常量，质心沿x方向速度不变；若存在则常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。

5．质心运动定理可求解两类动力学问题：

已知质点系质心的运动,求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。动力学274.质心运动守恒定律5．质心运动定理可求解两类动力解:取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。动力学[例3]

电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。28解:取整个电动机作为质点系研究，动力学[例3]电动机的根据质心运动定理，有可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。动力学a1=0，a2=e229根据质心运动定理，有可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。动力学[例4]浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。30解：取起重船，起重杆和重物组成动力学[例4]浮动起重船动力学船的位移x１，杆的位移重物的位移31动力学船的位移x１，杆的位移重物的位移31动力学计算结果为负值，表明船的位移水平向左。32动力学计算结果为负值，表明32第十三章动能定理33第十三章动能定理33§13–1力的功§13–2动能§13–3动能定理§13–4功率·功率方程§13–5势力场·势能·机械能守恒定理§13–6动力学普遍定理及综合应用第十三章动能定理34§13–1力的功第十三章与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。动力学35与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用动力学13-1力的功

力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功36动力学13-1力的功力的功是力沿路程累积效应的度二．变力的功

动力学元功：37二．变力的功动力学元功：37力在曲线路程中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式）动力学38力在曲线路程中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直三．合力的功质点M受n个力作用合力为则合力的功动力学在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。即39三．合力的功动力学在任一路程上，合力的功等于各分力功的代四．常见力的功

1．重力的功质点系：

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。动力学质点：重力在三轴上的投影：40四．常见力的功质点系：质点系重力的功，等于质点系的2．弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。。动力学412．弹性力的功动力学41弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。动力学42弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关3．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。动力学

4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度时力所作的功。M点轨迹已知。433．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若m=常量,则注意：功的符号的确定。动力学如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直转轴44作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若m=常量,则注意正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功N=常量时,W=–f´NS,与质点的路径有关。动力学若m=常量则45正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆五．质点系内力的功

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。

不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。动力学46五．质点系内力的功只要A、B两点间距离保持六．理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。

2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承动力学3．刚体沿固定面作纯滚动1．光滑固定面约束47六．理想约束反力的功2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承动力4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索）

动力学拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。484．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索§13-2动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。动力学瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。二．质点系的动能

一．质点的动能

49§13-2动能物体的动能是由于物体运动而具有（P为速度瞬心）1．平动刚体2．定轴转动刚体3．平面运动刚体动力学三．刚体的动能50（P为速度瞬心）1．平动刚体动力学三．刚体的动能50§13-3动能定理1．质点的动能定理：因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定理的积分形式动力学两边点乘以，有51§13-3动能定理1．质点的动能定理：因此动能定理的微分形对质点系中的一质点：即质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式动力学对整个质点系，有2．质点系的动能定理将上式沿路径积分，可得52对质点系中的一质点：即质点系动能定[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)动力学53[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,解：取系统为研究对象动力学54解：取系统为研究对象动力学54上式求导得：动力学55上式求导得：动力学55动能定理的应用练习题

1．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA杆动力学56动能定理的应用练习题1．图示的均质杆OA的质量为30kg由动力学57由动力学572．行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。动力学解：取整个系统为研究对象582．行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P动力学根据动能定理，得将式对t求导数，得59动力学根据动能定理，得将式对t求导数，得593．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。动力学解：取整个系统为研究对象603．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是动力学解动力学61动力学61§13-4功率·功率方程

一．功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。动力学62§13-4功率·功率方程一．功率：力在单位时间内所作二．功率方程：由的两边同除以dt得动力学分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即63二．功率方程：动力学分析：起动阶段（加速）：即63动力学机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。64动力学机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣§13-5势力场、势能、机械能守恒定律

一．势力场

1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。动力学重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2．势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。65§13-5势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场动力学重

二．势能

在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能，用V表示。M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。是坐标的单值连续函数。动力学66二．势能M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。质点系的势能：动力学67等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。质点系的势能：动2.弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点动力学1.重力场质点：质点系：3.万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置682.弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点动力学1.重力场质有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。动力学在M1位置：

M2位置：M1→M2：三．有势力的功69有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。动力学在M1对非保守系统，设非保守力的功为W12'

,则有动力学四．机械能守恒定律

机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统。设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)—机械能守恒定律作用，则70对非保守系统，设非保守力的功为W12',则有动力学四动力学[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。初瞬时：71动力学[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得动力学任一瞬时：72由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得动力学任一瞬§13-6动力学普遍定理及综合应用

动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。

动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：

一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。动力学73§13-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理

二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。动力学求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。举例说明动力学普遍定理的综合应用：74二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联

[例1]两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。