微分方程模型课件

第六章微分方程模型第六章微分方程模型1一、经济增长模型一、经济增长模型2发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革新.本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后再研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效的增长.发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、31.Douglas生产函数用分别表示某一地区或部门在时刻的产值、资金和劳动力，相互的关系为⑴其中为待定函数，对于固定的时刻上面的函数简记为1.Douglas生产函数用4现来探讨函数的具体表达式，引入记号分别表示每个劳动力的产值和投资。有如下的假设：随着的增加而增加，但增长速度递减。从而可以假设为⑵现来探讨函数的具体表达式，引入记号分别表示每5函数满足上面的要求，常数可看成是技术的作用。将上面的形式代入到⑴中，即：⑶由⑶式知函数有如下的性质：⑷函数满足上面的要求，常数6⑷式的具体意义是：产值是资金和劳动力的递增函数，但增长率逐渐下降（即加速度为负数）.（见前图）记表示单位资金创造的产值（又称为对资金的边际产值）；表示单位劳动力能创造的产值（又称为对劳动力的边际产值）.则从⑶式得到⑸⑷式的具体意义是：产值是资金和劳动力的递增函数，记7⑸的具体意义是：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额。所以的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。⑶式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，更一般的形式是⑸的具体意义是：是资金在产值中占有的份额，82.资金与劳动力的最佳分配本段根据⑶式讨论，如何分配资金与劳动力，使生产创造的效益达到最大。假定资金来自贷款，利率为每个劳动力都要支付工资因而总效益为则相应的问题转化为资金与劳动力的分配比例（即每个劳动力占有的资金），使效益为最大。⑹2.资金与劳动力的最佳分配本段根据⑶式讨论，9此问题由微分法可得到（为一个求极值的问题）。在⑹式两边对求导，并令其为零，则有⑺再由⑸式；可得到此即为资金与劳动力的最佳分配。⑻此问题由微分法可得到（为一个求极值的问题）。在⑹⑺再由⑸式；10例取则由关系得例取得113.劳动生产率增长的条件衡量经济增长的指标：总产值和每个劳动力的产值这个模型讨论的就是满足什么条件才能使保持增长？3.劳动生产率增长的条件衡量经济增长的指标：12假设1.投资增长率与产值成正比，比例系数2.劳动力的相对增长率为常数注：这两个条件的数学表达式分别为：⑼假设1.投资增长率与产值成正比，比例系数2.劳动力的13方程⑼的解为将代入得到又因再由⑼式，两边求导,得比较上面两个式子，就有方程⑼的解为将14此方程为Bernoulli方程，其解为⑽其中以下根据⑽式来研究保持增长的条件。此方程为Bernoulli方程，其解为⑽其中151)增长由条件及得其中的以⑽代入，可知条件等价于1)增长由条件16⑾注意到上式右端大于所以当（即劳动力不减少）时，上式总成立；而当时，上式成立的条件是此说明在劳动力减少的条件下，产值只能在短时间内增长，同时注意到，若⑿⑾注意到上式右端大于所以当（即劳17则不存在这样的时间。2)增长由条件得再由知由于：则不存在这样的时间。2)增长由18所以当时，该条件成立，而当时，此条件等价于此条件的意义是:劳动力增长率小于初始投资增长率.所以当时，该条件成立，而当19二、香烟过滤嘴的作用问题烟草公司普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴，但是过滤嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的关系？在这一段中，我们建立相应的数学模型来具体讨论这个问题。二、香烟过滤嘴的作用问题烟草公司普遍地在香烟20分析吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉淀下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉淀下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。分析吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物21在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入.在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空22模型假设

1.烟草和过滤嘴的长度分别是，毒素（毫克）均匀地分布在烟草中，密度为2.点燃处的毒物随烟雾进入空气和沿烟草穿行的数量比例是3.未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率分别是常数模型假设1.烟草和过滤嘴的长度分别是234.烟草沿香烟穿行的速度是常数香烟的燃烧速度是常数且将一支烟吸完后毒物进入人体的总量记为常识告诉我们，量与过滤嘴的吸收率、烟草中毒物的初始含量有关，因此降低的含量及降低烟雾在香烟总的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。4.烟草沿香烟穿行的速度是常数香烟的燃24模型建立设在时刻及处点燃香烟，为此建立相应的坐标系统：吸入毒物量由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为此定义函数：毒物流量表示在时刻时单位时间通过香烟截面处的毒物量；模型建立设在时刻及25毒物密度表示时刻截面处单位长度烟草中的毒物含量。如果知道了流量函数，吸入的毒物流量就是处的流量在吸一支烟时间内的总和。即下面分4个过程来计算值。⑴毒物密度表示时刻261.在瞬间由烟雾携带的毒物在单位时间内通过处的数量由假设4知在香烟点燃处静止不动。记考察所对应的一段香烟，毒物通过和处的流量分别是和则根据守恒定律，这两个流量之差等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴的毒物的吸收量，由假设2及4，有1.在瞬间由烟雾携带的毒物在单27其中是烟雾穿过长度为的这一段香烟所需要的时间，令则有微分方程：⑵在处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作其中是烟雾穿过长度为28根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为求解微分方程⑵。首先由方程及初始条件方程的通解为再由初始条件得从而得到方程的解为⑶根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为求解微分方程29对于方程及初始条件同样可得方程的解为对于方程及初始条件同样可得方程的解为30即方程的解可以表达为⑷即方程的解可以表达为⑷312.在香烟燃烧的任何时刻求毒物在单位时间内通过的数量因为在时刻时，香烟燃至处，记此时点燃的烟草在单位时间放出的毒物量为则仿1可得⑸⑹2.在香烟燃烧的任何时刻求毒物在单位时间内323.确定由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度由初始值逐渐增加。考察烟草截面处在时间内毒物密度的增量根据守恒定律它等于在单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有3.确定由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得33令并将⑸、⑹代入得方程此方程为偏微分方程，该方程的解为令并将⑸、⑹代入得方程此方34⑼其中（由假设2）⑼其中（由假设2）354.计算将⑼代入⑺中，得⑽最后将⑽代入⑴式作定积分得：⑾4.计算将⑼代入⑺中，得⑽最后将⑽代入⑴式作定积分36为便于对结果的分析，将上式写成⑿记则⑿式可写成⒀式即是我们需要的最终，该式表达了吸入量与等因素之间的关系。为便于对结果的分析，将上式写成⑿记37结果分析1.与烟草含毒物量、毒物随烟雾沿香烟穿行比例成正比。可以设想为将毒物集中在处，则吸入量为2.因子体现了过滤嘴对减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴的长度及吸收率降低穿行速度也可降低吸入量。结果分析1.与烟草含毒物量383.因子表示的是未点燃的烟草对毒物的吸收而起到的减少的作用。根据实际数据有则3.因子表示的是未点燃的烟草对毒394.比较为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作比较，两支香烟的长度均为一支带过滤嘴，长度为吸入量分别为则有可见只要过滤嘴就体现了相应的作用。4.比较为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作40微分方程模型课件41三、烟雾的扩散和消失问题的提出一颗炮弹在平原上爆炸，放出的烟雾以爆炸点为中心向四周迅速扩散，形成一个近似于圆形的不透光区域。由于这个这个区域逐渐增大，其边界逐渐明亮起来，不透光区域逐渐变小，最后烟雾完全消失。本节建立一个相应的数学模型来描述烟雾的扩散和消失的过程，分析消失的时间与哪些因素有关。三、烟雾的扩散和消失问题的提出一颗炮42问题的分析爆炸引起的烟雾传播可以看成是无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程。能够用二阶抛物型偏微分方程描述烟雾浓度的变化规律。整个建模过程应当包括能够：烟雾浓度的变化规律；穿过烟雾的光的强度的变化规律，仪器辨别亮暗的灵敏度的描述；不透光区域边界的变化过程等。问题的分析爆炸引起的烟雾传播可以看成是无穷空43模型假设1.炮弹的爆炸看作是在空中某一点向四周等强度地瞬时释放烟雾，烟雾在空间扩散，不计风力和大地的影响；2.烟雾的传播遵从扩散定律：即单位时间通过法向面积的流量与它的浓度成正比；3.光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少,单位距离上光强的相对减少量与烟雾浓度成正比,没有烟雾的模型假设1.炮弹的爆炸看作是在空中某一点向44大气对光线的吸收作用忽略不记；4.在烟雾的扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪器的标准光强保持不变，对于穿过烟雾而进入仪器的光强观测结果只有亮暗之分，仅当时观测结果为量。称为仪器的灵敏度。大气对光线的吸收作用忽略不记；4.在烟雾的扩散过程中45建模将爆炸时刻记为爆炸点设为坐标原点。在时刻时空间中任一点的烟雾浓度记为由假设2，单位时间通过单位法向面积的流量⑴其中是扩散系数，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。设空间区域的体积为包围的曲面为的外法向量为则在时间区间内，通过的建模将爆炸时刻记为爆炸点46的流量为⑵而的烟雾增量为⑶由质量守恒定律，知由高斯公式，有的流量为⑵而的烟雾增量为⑶由质量守恒定律，知由高斯公47由积分中值定理得：⑷⑸再由假设1，初始条件为在坐标原点的点源函数，记为由积分中值定理得：⑷⑸再由假设1，初始条件为在坐标原点的点源48其中表示烟雾总量，是单位强度的点源函数。方程⑸的解为方程的解说明：在任何时刻烟雾浓度函数的等值面为球面并且当时，⑹其中表示烟雾总量，是492.穿过烟雾的光强的变化规律考察沿一定方向穿过烟雾的光线，此方向的长度坐标记为烟雾浓度为光强为由假设3，则有是烟雾对光线的吸收系数，光线未进入烟雾时的强度记作即⑺则方程⑺在条件⑻下的解为⑻2.穿过烟雾的光强的变化规律考察沿一定方向50⑼⑼513.仪器的灵敏度与不透光区域的边界注意到，烟雾浓度在空间中是连续变化的，穿过烟雾而进入仪器的光强也是连续变化的，之所以会观察到烟雾扩散时不透光区域的边界有一个先大后小、最终消失的过程，是由于仪器的观测结果只有亮暗之分。亮暗分界线由灵敏度决定。由假设4仅当观测结果为亮。⑽3.仪器的灵敏度与不透光区域的边界注意到，52由假设3，光强穿过没有烟雾的大气时其衰减可以忽略，因而不必对它与直接进入仪器的标准光强加以区分，从而⑽式中的光强可以由⑼式进行计算。为方便起见，取沿着轴的光线，不妨设光源（太阳）在处而仪器在处，则⑽可以写成⑾由假设3，光强穿过没有烟雾的大气时其衰减可53因为的等值面为球面，所以仪器观测到的投影在平面上的不透光区域的边界是圆周，记作其中圆半径由⑾式确定.因为的等值面544.不透光区域的边界的变化规律对⑾式取对数，并利用一次近似则⑾式可化为于是不透光区域的边界由确定，将⑹式中的代入上式并进行积分,并⑿⒀4.不透光区域的边界的变化规律对⑾式取对数，55利用公式可得以代入上式,有⒁⒂利用公式56结果分析由⒂式可大致画出函数的曲线,并且能算出当时不透光的区域的半径达到最大当⒃⒄结果分析由⒂式可大致画出函数57时,即此时烟雾完全消散.⒃,⒄式表明与烟雾施放量和烟雾对光线的吸收系数成正比,与扩散系数和系统灵敏度成反比.再从最后两式可以得到此说明当知道后,可预测烟雾完全消失的时刻时,即此时烟雾完全消散.58四、万有引力的发现历史背景15世纪下半叶开始,欧洲商品经济的繁荣促进了航海事业的发展.哥伦布新大陆的发现,麦哲伦的环球远航,引起了社会的普遍关注.当时的远洋航船的方位全考星球的位置来确定.在强大的社会需要推动下,天文观测的精确程度不断提高.在大量的实际观测数据面前,一直处于天文学统治地位的“地心说”开始摇动了.四、万有引力的发现历史背景15世纪下半叶开始59波兰天文学家哥白尼在天文观测的基础上,冲破宗教统治和“地心说”的束缚,提出“日心说”.这是天文学乃整个科学的一大革命.但是由于历史条件和科学水平的限制,哥白尼的理论还有些缺陷.他接受了圆周运动是最完美的天体运动形式的概念,认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的.意大利物理学家伽利略不仅用观察方法证明了哥白尼的学说,而且用实验方法发现了落体定律和惯性原理,揭示了物体在不受阻扰时作匀速直线运动的规律.波兰天文学家哥白尼在天文观测的基础上,冲破宗教60德国天文学家、数学家开普勒在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上用数学方法研究发现,火星的实际位置与按哥白尼理论计算的位置相差8弧分.经过对观测数据长期深入的分析,开普勒终于归纳出著名的所谓行星运动三大定律:即各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行,太阳位于这些椭圆的一个焦点上;每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过德国天文学家、数学家开普勒在第谷.布拉赫对于行61的面积是一个常数;各颗行星运行的周期的平方与其轨道长半轴的3次方成正比.在伽利