高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学案新人教A版选修11

3．2导数的计算几个常用函数的导数3．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容标准学科素养y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.应用数学抽象提高数学运算授课提示：对应学生用书第56页[基础认识]知识点一几个常用函数的导数eq\a\vs4\al(预习教材P81－83，思考并完成以下问题)导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？下列函数的导数是什么？(1)f(x)＝c；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝eq\f(1,x)；(5)f(x)＝eq\r(x).提示：由导数的定义得(1)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))0＝0；(2)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1；(3)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x)＝2x；(4)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,xx＋Δx)))＝－eq\f(1,x2)；(5)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx,Δx\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x)).知识梳理几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))知识点二基本初等函数的导数公式知识梳理为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)[自我检测]求下列函数的导数：(1)f(x)＝eq\r(4,x5)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)；(3)h(x)＝3x.答案：(2)g(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3xln3.授课提示：对应学生用书第57页探究一利用导数公式求函数的导数[阅读教材P83例1]假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少()?题型：基本初等函数的导数．方法步骤：①根据导数的几何意义，上涨速度就是导数．②利用导数公式表求出p′(t)．③再求出p′(10)就是第10个年头的上涨速度．[例1]求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.[解析](1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10)..(5)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.方法技巧函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．跟踪探究1.(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lgeq\r(3,x)；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))xlneq\f(1,e)＝－eq\f(1,ex)＝－e－x.(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))xlneq\f(1,10)＝eq\f(－ln10,10x)＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lgeq\r(3,x)＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.探究二利用导数公式求曲线的切线方程[教材P82探究改编]求曲线y＝eq\f(1,x)在(1,1)处的切线方程．解析：∵y＝eq\f(1,x)＝x－1，∴y′＝－x－2＝－eq\f(1,x2)，∴y′|x＝1＝－1，∴曲线y＝eq\f(1,x)在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.[例2](1)求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.(2)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解析：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小．设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1)．所以点P到直线y＝x的最小距离为eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).方法技巧解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪探究y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设切点P的坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式得5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5.∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.授课提示：对应学生用书第58页[课后小结](1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．(2)有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的导数．因为y＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．[素养培优]1．未能区分好变量与常量而致错求f(x)＝cosa的导数．易错分析很容易忽视a是常数．自我纠正f′(x)＝(cosa)′＝0.2．没有意识到切点也在曲线上致误过原点作曲线y＝ex的切线，