2021-2023年高考数学真题分类汇编专题04 导数及其应用（解答题）（文）（解析版）

专题04导数及其应用（解答题）（文）知识点目录知识点1：恒成立与有解问题知识点2：极最值问题知识点3：证明不等式知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）知识点5：零点问题近三年高考真题知识点1：恒成立与有解问题1．（2023•甲卷（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，若SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意；综合可得：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2023•乙卷（文））已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，求导可得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，化简整理可得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求导可得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，不符合题意，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，符合题意，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合题意，综上所述，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．3．（2021•天津）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）证明函数SKIPIF1<0存在唯一的极值点；（3）若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）证明：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出图象，如图，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0仅有一个交点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数；所以SKIPIF1<0时是SKIPIF1<0的极大值点，故SKIPIF1<0仅有一个极值点；（3）由（2）知SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则等价于存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调增函数，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知识点2：极最值问题4．（2023·北京·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)设函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)求SKIPIF1<0的极值点个数．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0恒成立，所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（3）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极大值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值点；综上：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个极小值点，在SKIPIF1<0上有一个极大值点，共有SKIPIF1<0个极值点.5．（2021•北京）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，求SKIPIF1<0的单调区间，并求其最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减．函数SKIPIF1<0的图象如右图，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值1，且为最大值1；在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，且为最小值SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的最大值为1，最小值为SKIPIF1<0．6．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综合可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，易知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，这显然与SKIPIF1<0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点，符合题意；③若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0只考虑SKIPIF1<0的情况，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，与显然与SKIPIF1<0为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知识点3：证明不等式7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）单调递减，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）单调递增，所以SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得证，即SKIPIF1<0得证．8．（2022•上海）SKIPIF1<0．（1）若将函数SKIPIF1<0图像向下移SKIPIF1<0后，图像经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．（2）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求解不等式SKIPIF1<0．【解析】（1）因为函数SKIPIF1<0，将函数SKIPIF1<0图像向下移SKIPIF1<0后，得SKIPIF1<0的图像，由函数图像经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0；综上知，SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（3）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内递增，所以SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，故舍去；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，符合题意．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，符合题意．综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．另SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，与题意矛盾；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，满足题意；．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，满足题意；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，与题意矛盾．综上可得，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）由（2）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．另运用数学归纳法证明．当SKIPIF1<0时，左边SKIPIF1<0成立．假设当SKIPIF1<0时，不等式成立，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．可令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则需证明SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则需证明SKIPIF1<0．构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以原不等式成立，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立．综上可得，SKIPIF1<0成立．知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）10．（2022•天津）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点．（ⅰ）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围；（ⅱ）求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）证明：令交点的横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又易证SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．11．（2022•北京）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入原函数可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入导函数可得：SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0处切线斜率为1，故SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；解法二：由（Ⅰ）有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由指数函数的性质得SKIPIF1<0上SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（Ⅱ）有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调递增，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个不相等的正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由函数的解析式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．（2）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两根，其中SKIPIF1<0．不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，先证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得证．同理，要证SKIPIF1<0，（法一）即证SKIPIF1<0，根据（1）中SKIPIF1<0单调性，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0得证，（法二）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得证，则SKIPIF1<0．知识点5：零点问题13．（2022•甲卷（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线也是曲线SKIPIF1<0的切线．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设该切线与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设该切线与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0单调递增则SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．14．（2022•乙卷（文））已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最大值；（2）若SKIPIF1<0恰有一个零点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，同时也是最大值，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，由（1）可知，函数SKIPIF1<0无零点；②当SKIPIF1<0时，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故此时函数SKIPIF1<0无零点；③当SKIPIF1<0时，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由（1）可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故此时函数SKIPIF1<0有唯一零点；⑤当SKIPIF1<0时，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，又由（1）可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故存在SKIPIF