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线性代数线性代数1第二章

矩阵及其运算第二章

矩阵及其运算2线性代数ppt课件第二章矩阵及其运算第2节3１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵4说明

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进例如52、矩阵加法的运算规律2、矩阵加法的运算规律61、定义二、数与矩阵相乘1、定义二、数与矩阵相乘72、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的8１、定义并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中１、定义并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘设9例１设例2例１设例210故解故解11注意

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.12２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;

若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;13注意

矩阵不满足交换律，即：例

设则注意矩阵不满足交换律，即：例设则14但也有例外，比如设则有但也有例外，比如设则有15例3

计算下列乘积：解例3计算下列乘积：解16解=(）解=(）17解例4解例418由此归纳出由此归纳出19用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，用数学归纳法证明当时，显然成立.假设20所以对于任意的都有所以对于任意的都有21定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵四、矩阵的其它运算定义把矩阵的行换成同序数的列得到的例１、转22转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质23例5已知解法1例5已知解法124解法2解法2252、方阵的行列式定义

由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质2、方阵的行列式定义由阶方阵的元素263、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明3、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵，如果27例6设列矩阵满足证明例6设列矩阵满足28例7

证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明

所以C为对称矩阵.

所以B为反对称矩阵.命题得证.例7证明任一阶矩阵都可表示成对29定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明则称为矩阵的伴随矩阵.定义行列式的各个元素的代数余子式所性304、共轭矩阵定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

故同理可得4、共轭矩阵定义当为复矩阵时，31运算性质（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:运算性质（设为复矩阵，为复数,且运算都是32五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵33思考题成立的充要条件是什么?

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