第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性课件

第三章n维向量空间n维向量的定义n维向量的线性运算向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量空间习题课第三章n维向量空间n维向量的定义1定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，

第一节

维向量的概念定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实2例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量3

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用

等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用

等表示，如：维向量写成一行，称为行向量，也就是行维向量写4注意

3．行向量和列向量总被看作是两个不同的

２．向量和矩阵之间的关系向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

1．向量的分量之间是有先后顺序的。注意3．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．向量和5令

表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实向量，则可简记

,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。令表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实6

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一些特殊的向量：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合7向量组

,,…，称为矩阵A的行向量组．向量组,,…，称为矩阵A的8n维0向量：注：维数不同的零向量是不同的向量n阶单位矩阵的n个列向量分别记为：称为n维基本向量n维0向量：注：维数不同的零向量是不同的向量n阶单位矩阵9第二节n维向量的线性运算定义1K是实数域中的一个数，则向量的加法向量的加法和数乘统称为向量的线性运算第二节n维向量的线性运算定义1K是实数域中的一个数，则10注：设n维向量的对应分量相等，即称这两个量是相等的，即注：1

与

要么都是行向量，要么都是列向量。2

与的分量个数应相同。注：设n维向量的对应分量相等，即称这两个量是相等的，即注：111第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性ppt课件12例1(1)求，的负向量(2)计算例1(1)求，的负向量(2)计算13一、线性组合定义１:第三节向量组的线性相关性一、线性组合定义１:第三节向量组的线性相关性14

对于给定的向量组A:1,2,

…,m和向量b,如果存在一组数k1,k2,…,km使关系式则称向量b是向量组1,2,

…,m的线性组合,或称向量b可以由向量组1,2,

…,m线性表示.对于给定的向量组A:1,2,…,15比如说：为n维基本向量结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合比如说：为n维基本向量结论：任何n维向量都是n维基本向量的线16设有向量称b是的线性组合.或b可以由线性表示.例如：设有向量称b是的线性组合.或b可以由线17第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性ppt课件18二、向量组的线性相关性定义２对于向量组A:1,2,…,m,成立,则称向量组1,2,…,m线性相关.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式反之则称向量组1,2,…,m线性无关.二、向量组的线性相关性定义２对于向量组A:1,19成立,即只有当k1=k2=

…=km=0时,才有成立,则称向量组1,2,…,m线性无关.如果没有不全为零的k1,k2,…,km,使成立,即只有当k1=k2=…=km=0时,才有20例1：设有向量则称向量组线性相关例2：则由，得线性无关。注：

n维基本向量线性无关例1：设有向量则称向量组线性相关例2：则由，得线性无关。注：21向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组22第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性ppt课件23讨论x1,x2,…,xm的情况.

如果解得x1,x2,…,xm不全为零,则1,2,…,m线性相关;如果推出x1=x2=

…=xm=0,则1,2,…,m线性无关.讨论x1,x2,…,xm的情况.如果解24

例3

讨论的线性相关性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T例3讨论e1=(1,0,…,0)Ten25

向量组

线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）

定理1三、线性相关与线性组合之间的关系向量组线性相关的充分必要条件26

向量组

线性相关,但

线性无关，则向量

可由向量组唯一地线性表示。定理2向量组线性相关,27例4：讨论向量组，的线性相关性。解：设有实数使即系数行列式故方程组有非零解。如取有，所以线性相关。例4：讨论向量组，28例5：设向量组