生物医学信号处理-83-维纳霍夫方程的频域解课件

本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的白化的方法求解维纳－霍夫方程，得到系统函数随机信号都可以看成是由一白色噪声w1(n)激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图8.2所示．

图8.2s(n)的信号模型本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上给出x(n)的信号模型，图8.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图8.4所示，其中传递函数用B（z）表示。

图8.3x的信号模型

图8.4维纳滤波器的输入信号模型由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上

(8-22)

对式（8－22）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系：

(8-23)同样，对图8.4进行z变换得

(8-24)白噪声的自相关函数为Rw1w1(m)=σw12δ(m),它的z变换就等于σw12。图8.2中输出信号的自相关函数为Rss(m)，根据卷积性质有(8-图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成B(z),另外在单位圆外的零、极点构成B(z-1)，这样就保证了B(z)是因果的，并且是最小相位系统图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：从图8.4可得

(8-26)

由于系统函数B(z)的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则1/B(z)也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（8－26）对x(n)进行白化，即把x(n)当作输入，w1(n)当作输出,1/B(z)是系统传递函数。从图8.4可得将图8.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳H(z)，如图8.5（a）所示，为了便于求这个Hopt(z)，将图8.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：1/B(z)和G(z)，如图8.5（b）所示，则

(8-27)

图8.5利用白化方法求解模型（a）（b）将图8.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最白化法求解维纳－霍夫方程步骤如下：

１）对观测信号x(n)的自相关函数Rxx(m),求z变换得到Rxx(z)２）利用等式,找到最小相位系统B(z)３）利用均方误差最小原则求解因果的G(z)４），即得到维纳－霍夫方程的系统函数解白化法求解维纳－霍夫方程步骤如下：步骤3:G(z)的求解过程按图8.5（b）有(8-28)均方误差为步骤3:G(z)的求解过程由于代入上式，并且进行配方得

(8-29)均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以

(8-30)由于代入上式，并且进行配方得均方误差最小也就注意，这里的g(m)是因果的。对该式求单边z变换，得到

(8-31)所以维纳－霍夫方程的系统函数解表示为所以维纳－霍夫方程的系统函数解表示为由式

(8-32)因果的维纳滤波器的最小均方误差为：

(8-33)利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示

(8-34)围线积分可以取单位圆由式围线积分可以取单位圆【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)与w(n)统计独立，其中s(n)的自相关序列为Rss(m)=0.8|m|，w(n)是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计s(n)，并求最小均方误差。解：依题意，已知【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),步骤1步骤2由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差步骤1步骤2步骤3利用式

对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为0.8<|z|<2，