概率论与数理统计4153-数学期望课件

有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：3000、3998、3002、3997、3003和5000、4998、5002、4997、5003请问哪批灯泡的质量好？有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：5000、4998、5002、4997、5003和5000、4000、6000、3000、7000请问哪批灯泡的质量好？平均寿命灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差.有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：3000、第4章随机变量的数字特征4.1数学期望4.3协方差与相关系数4.2方差第4章随机变量的数字特征4.1数学期望4.3协24.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质4.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、

引例

某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是否合格，在抽检的30天记录中，无次品的有18天，一件次品的有9天，两件次品的有3天，求日平均次品数．次品数

012345总计天数频率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001引例某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测，每天日平均次品数次品数

012345总计天数频率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001可能出现的次品数与其相对应频率乘积的和日平均次品数次品数01日平均次品数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“日平均次品数”的稳定值“日平均次品数”等于次品数的可能值与其概率之积的和由概率的统计定义知：当试验次数很大时,频率会稳定于概率Pi日平均次品数频率随机波动随机波动随机波动稳定值6一、离散型随机变量的数学期望

数学期望的本质——加权平均,它是一个数,不再是随机变量。一、离散型随机变量的数学期望数学期望的本质——加权平均7例如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.例如何确定投资决策方向?某人有10万元现8分布期望概率分布参数为p

的0-1分布pB(n,p)npP()计算过程见课本几个重要的离散型分布的数学期望G（p）P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…

分布期望概率分布参数为p的pB(n,p)npP()计9几个重要的离散型分布的数学期望1.几个重要的离散型分布的数学期望1.10概率论与数理统计4153-数学期望课件112.因为所以Poisson分布的参数就是它的数学期望2.因为所以Poisson分布的参数就是它的数学期望12二、连续型随机变量的数学期望定义的引出设X是连续型随机变量,其密度为

f(x),在数轴上任取很密的分点x1<

x2<

x3<…,则X落在小区间[xk,xk+xk)内的概率是f(x)x二、连续型随机变量的数学期望定义的引出设X是连续型随机13因此X≈

取值

xk、概率为的离散型随机变量,

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X的数学期望是这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：因此X≈取值xk、概率为14概率论与数理统计4153-数学期望课件15解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.练习

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间

X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.练习顾客平均等16分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)几个重要的连续型分布的数学期望分布期望概率密度区间(a,b)上的E()N(,2)几17例例18几个重要的连续型分布的数学期望1.因为所以均匀分布的期望为区间中点几个重要的连续型分布的数学期望1.因为所以均匀分布的期望为区19因为所以2.因为所以2.203.因为所以3.因为所以21因为所以Cauchy分布的数学期望不存在Cauchy分布注意：不是所有的随机变量都有数学期望。因为所以Cauchy分布的数学期望不存在Cauchy分布注意22例设某一机器加工某种产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地抽取5件产品检验,如果发现多于一件次品,就要调整机器,求一天中调整机器的平均次数.解:某次检验需要调整机器的概率为一天中调整机器的平均次数例设某一机器加工某种产品的次品率为0.1,检验员每天检验423是否可以不先求g(X)的分布而只根据X

的分布求得E[g(X)]呢？

设已知随机变量X的分布

一种方法是:g(X)也是随机变量,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定义把E[g(X)]计算出来.下面的定理指出答案是肯定的.如何计算X

的某个函数g(X)

的期望？

三、随机变量函数的数学期望是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E

定理

设X是一个随机变量,Y=g(X)（g为连续函数）定理设X是一个随机变量,Y=g(X)（g为连续函25解:例6设随机变量X的分布律为解:例6设随机变量X的分布律为26例

设随机变量X~U[0,π],求解由题意得例设随机变量X~U[0,π],求解由题意得27推广

设随机变量Z是随机变量X,Y

的连续函数Ｚ=g(X,Y)，则联合分布律

联合密度函数推广设随机变量Z是随机变量X,Y的连续函数Ｚ=g(X,例

设(X,Y)的联合分布律为例设(X,Y)的联合分布律为29解2023/8/616:1830解2023/7/3010:3030

例：设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：

x=1例：设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：x=11.设C是常数,则有2.设X是一个随机变量,C是常数,则有四、数学期望的性质4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有1.设C是常数,则有2.设X是一个随机变量32证明：下面定理仅对连续型随机变量给予证明四、数学期望的性质证明：下面定理仅对连续型随机变量给予证明四、数学期望的性质概率论与数理统计4153-数学期望课件34

注：性质4的逆命题不成立，即如果随机变量X、Y

的数学期望都存在，则由EXY=EX

EY，不能推出随机变量X、Y

相互独立。

∴EXY=0=EXEY

所以，随机变量X与Y

不相互独立。例设随机变量（X，Y）的联合分布律为则

EXY

=1(1)0.1+110.1EX=10.4=0.4，EY=(1)0.4+10.4=0但

P(X=0,Y=0)=0=P(X=0)P(Y=0)0.60.2=0注：性质4的逆命题不成立，即如果随机变量X、Y的数学期35例

求二项分布X~B(n,p)

的数学期望则

X=X1+X2+…+Xn=np若设i=1,2，…，n因为

P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p所以

E(X)=解由于X表示n重伯努利试验中某事件Ａ“发生”次数.

E(Xi)==pi=1,2，…，n例求二项分布X~B(n,p)的数学期望则36解例解例37概率论与数理统计4153-数学期望课件38例

将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限制,求空盒