第一节　基本立体图形及空间几何体的表面积和体积

第一节基本立体图形及空间几何体

的表面积和体积第八章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.强基础固本增分1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征

围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面微点拨1.要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.台体可以看成是由锥体截得的,但一定要知道截面与底面平行.微思考

有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?提示

不一定.如图.

旋转体一定有旋转轴(2)旋转体的结构特征微点拨

旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.2.空间几何体的直观图用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤:

九十度、画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴,过

x'轴

与

y'轴

的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于

x'轴

.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度

不变

.连接有关线段.

(3)擦去有关辅助线,并把

被面遮挡住的线段

改成虚线(或擦除).

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

微点拨

一些几何体表面上的最短距离问题,常常利用几何体的展开图解决.4.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积

微点拨1.求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求几何体的体积时,要注意利用分割、补形与等体积法.微思考

柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?提示

5.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,这就是说,夹在两个

平行平面

间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的

任意

平面所截,两个截面的面积

总相等

,那么这两个几何体的体积一定相等.

常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系:2.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为3.正方体与球的切、接常用结论设正方体的棱长为a,球的半径为R.(1)若球为正方体的外接球,则2R=a;(2)若球为正方体的内切球,则2R=a;(3)若球与正方体的各棱相切,则2R=a.4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,其外接球的半径为R,则自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(

)2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)3.用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(

)4.菱形的直观图仍是菱形.(

)××××题组二

双基自测5.

如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为(

)A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5答案

B6.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)研考点精准突破考点一基本立体图形(多考向探究预测)考向1空间几何体的结构特征题组(1)给出下列说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体都是圆锥;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确说法的个数是(

)A.0 B.1 C.2

D.3(2)给出下列说法:①棱柱的侧棱长都相等,侧面都是全等的平行四边形;②存在每个面都是直角三角形的四面体;③棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确说法的序号有

.

答案

(1)A

(2)②③解析

(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②错误,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;③正确,由棱台的概念可知.规律方法

辨别空间几何体的两种方法

考向2直观图题组(1)如图所示是水平放置的△ABC的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(

)A.等边三角形B.直角三角形C.非等边的等腰三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(

)答案

(1)A

(2)A(2)(方法1)根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出△ABC的直观图,如图2所示.图1图2引申探究(变条件变结论)本题组(2)变为:已知水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为2的正三角形,则△ABC的面积为

.

规律方法

在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=S原图形.考向3展开图例题(1)《增删算法统宗》中许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的底面圆周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(

)A.21尺

B.25尺 C.29尺

D.33尺(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,CC1=,动点M在棱CC1上,连接MA,MD1,则MD1+MA的最小值为(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)如图所示,圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,由题意得AB=2丈=20尺,圆周长BE=3尺,则葛藤均匀绕圆柱7周,葛藤长为规律方法

多面体表面展开图可以有不同的形状,应多实践,观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系,一定先观察立体图形的每一个面的形状,借助展开图,培养直观想象素养.对点训练(1)(2021·新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(

)(2)如图,四棱锥的底面是正方形,顶点P在底面上的射影是底面正方形的中心,侧棱长为4,侧面的顶角为30°.过点A作一截面与PB,PC,PD分别相交于E,F,G,则四边形AEFG周长的最小值是

.

解析

(1)设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.(2)依题意,四棱锥为正四棱锥,且每个侧面的顶角为30°,将四棱锥P-ABCD的侧面沿PA展开,如图,A展开后到A',则PA=4,且∠APA'=120°,则当E,F,G和A,A'在同一直线上时,四边形AEFG的周长取最小值,最小值为AA'.所以在三角形APA'中,由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos

120°=考点二空间几何体的表面积与体积(多考向探究预测)考向1表面积例题

(1)(2022·山东菏泽二模)民间娱乐健身工具陀螺起源于我国,如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知,底面圆的直径AB=16cm,圆柱体部分的高BC=8cm,圆锥体部分的高CD=6cm,则这个陀螺的表面积是(

)A.192πcm2

B.252π

cm2C.272πcm2

D.336π

cm2(2)(2023·湖南第二次质量检测)如图,一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型,其上、下底面均为正方形,面积分别为4cm2,9cm2,且A1A=B1B=C1C=D1D.若该容器模型的体积为cm3,则该容器模型的表面积为(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)由题意可得圆锥体的母线长为

,所以圆锥体的侧面积为10×8π=80π(cm2),圆柱体的侧面积为16π×8=128π(cm2),陀螺的底面圆的面积为π×82=64π(cm2),所以此陀螺的表面积为80π+128π+64π=272π(cm2).规律方法

几何体表面积的求法

求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积对点训练为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形.若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为

∶8,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为(

)答案

D考向2体积题组(1)(2022·新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(≈2.65)(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3

C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3(2)(2021·北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24h降雨量的等级划分如下:等级24

h降雨量(精确到0.1)…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示),则这24h降雨量的等级是(

)A.小雨 B.中雨

C.大雨

D.暴雨(3)(多选)(2022·新高考Ⅱ,11)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,E-ACF的体积分别为V1,V2,V3,则(

)A.V3=2V2

B.V3=2V1C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1答案

(1)C

(2)B

(3)CD解析

(1)由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5

m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,接EM,FM,易得BD⊥AC.又ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,规律方法

求空间几何体的体积的三种方法

考点三与球有关的切、接问题(多考向探究预测)考向1几何体的外接球例题(1)(2022·山东济宁二模)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为(

)A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶4(2)(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.100π

B.128π

C.144π

D.192π(3)(2022·新高考Ⅰ,8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是(

)答案

(1)A

(2)