第五节　条件概率与全概率公式、相互独立事件

第五节条件概率与全概率公式、相互独立事件第十一章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.了解两个随机事件独立性的含义,能利用独立性计算概率.2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.4.会利用全概率公式计算概率.强基础固本增分1.随机事件独立性(1)一般地,当

P(AB)=P(A)P(B)

时,就称事件A与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.

(3)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中

任一个事件发生的概率

不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.

2.独立事件的概率乘法公式(1)若A与B相互独立,则

P(AB)=P(A)P(B)

,同时(2)若A1,A2,…,An两两独立,则

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

.

3.条件概率(1)条件概率的定义与公式

当P(A)=0时,我们不定义条件概率(2)条件概率的性质①0≤P(B|A)≤1;②P(A|A)=

1

;

③如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=

P(B|A)+P(C|A)

.

微思考

P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗?提示

不同.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.另外从计算公式上看,4.乘法公式及其推广(1)乘法公式:P(AB)=

P(A)P(B|A)

,其中P(A)>0.

(2)乘法公式的推广:假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=

P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

,其中

P(A3|A1A2)

表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,

P(A1A2A3)

表示A1,A2,A3同时发生的概率.

6.贝叶斯公式(1)一般地,当0<P(A)<1且P(B)>0时,有(2)定理2

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:①任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.相互独立事件就是互斥事件.(

)2.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)3.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.(

)××√题组二

双基自测4.(2022·山东菏泽一模)第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B,运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.7;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(

)A.0.75 B.0.7

C.0.56

D.0.38答案

A解析

设事件A1=“第1天去A餐厅用餐”,事件B1=“第1天去B餐厅用餐”,事件A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,根据题意,得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8,则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.5.

设甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.8,0.9,则目标被击中的概率为

.

答案

0.98解析

由题意目标未被击中的概率是(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,所以目标被击中的概率为1-0.02=0.98.研考点精准突破考点一相互独立事件的概率例题某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为

.

答案

0.128解析

依题意,该选手第2个问题回答错误,第3,4个问题均回答正确,第1个问题回答正误均有可能,则所求概率P=1×0.2×0.82=0.128.引申探究(换结论)保持本例题条件不变,则该选手恰好回答了5个问题后晋级下一轮的概率为

.

答案

0.04608解析

依题意,该选手第3个问题的回答是错误的,第4,5个问题均回答正确,第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误,则所求概率P=0.23×0.82+2×0.2×0.8×0.2×0.82=0.005

12+0.040

96=0.046

08.规律方法

求相互独立事件同时发生的概率的方法

对点训练(2023·云南昆明高三联考)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每回合胜方得1分,负方得0分,假设在甲、乙的单打比赛中,甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.解

设Ai表示事件:第i次发球,甲得1分;设Bi表示事件:第i次发球,乙得1分,(1)记A表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;考点二条件概率例题某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛,已知甲同学被选出,则乙同学也被选出的概率为(

)答案

A规律方法

条件概率的三种求法

答案

D考点三全概率公式例题(1)(2022·河南安阳二模)某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆,若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3,0.4,0.3,根据天气预报,这三天下雨的概率分别为0.4,0.2,0.5,且这三天是否下雨相互独立,则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为(

)A.0.25 B.0.35 C.0.65

D.0.75(2)(2022·山东济宁一模)甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,则取出的球是红球的概率为(

)答案

(1)C

(2)B解析

(1)根据全概率公式,可得他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为0.3×0.4+0.4×0.2+0.3×0.5=0.35,所以不下雨的概率为1-0.35=0.65.规律方法

利用全概率公式求解概率的步骤

对点训练(多选)假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表:品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机,用事件A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,事件B表示买到的是优质品,则(

)A.P(A2)=0.3 B.P(BA3)=0.7C.P(B|A1)=0.8 D.P(B)=0.81答案

ACD解析

因为乙品牌市场占有率为30%,所以P(A2)=0.3,因此选项A正确;因为P(BA3)=P(A3)