第三节　利用导数研究函数的极值、最值

第三节利用导数研究函数的极值、最值第四章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能够利用导数求某些函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系.强基础固本增分1.函数的极值

函数极值反映的是函数局部的性质

(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有①f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个

极大值点

,且f(x)在x0处取

极大

值;②f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个

极小值点

,且f(x)在x0处取

极小

值.

极大值点

与

极小值点

都称为极值点,

极大值

与

极小值

都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.

一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有

f'(x0)=0

.

(2)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.①如果对于x0左侧附近的任意x,都有

f'(x)>0

,对于x0右侧附近的任意x,都有

f'(x)<0

,那么此时x0是f(x)的极大值点.

②如果对于x0左侧附近的任意x,都有

f'(x)<0

,对于x0右侧附近的任意x,都有

f'(x)>0

,那么此时x0是f(x)的极小值点.

③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为

正号

(或均为

负号

),则x0一定不是y=f(x)的极值点.

微点拨

对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.微思考

对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?提示

必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.2.函数的最值

函数最值反映的是函数整体的性质(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个

极值点

;

(2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是

区间端点a或b

,要么是

极值点

.

微点拨

函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:Δ>0函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值)函数f(x)在R上不是单调函数Δ≤0函数f(x)在R上不存在极值函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减)自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.导数为0的点一定是极值点.(

)2.同一个函数的极大值不一定比极小值大.(

)3.函数的最值可能在极值点处取得.(

)4.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(

)×√√√题组二

双基自测5.可导函数在闭区间内的最大值必在(

)取得.A.极值点

B.导数为0的点C.极值点或区间端点 D.区间端点答案

C解析

可导函数在闭区间上必须连续.若函数单调,则最大值必在区间端点取得;若不单调,则比较极值与端点值,其中最大的为函数的最大值.6.

函数f(x)=x3-4x+4在区间[0,3]上的最大值是

,最小值是

.

解析

f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.研考点精准突破考点一利用导数研究函数的极值问题(多考向探究预测)考向1求已知函数的极值(点)例题(2022·湖南长郡中学高三检测)函数f(x)=+ln|x|的极值点为

.

答案

1考向2已知函数的极值(点)求参数例题(1)(2022·江苏南通模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极小值,且f(x)的极大值为4,则b=(

)A.-1 B.2 C.-3 D.4(2)(2022·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(lnx-ax)在区间(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为(

)答案

(1)B

(2)C解析

(1)f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极小值,所以f'(a)=ea[a2+(2-a-b)a+ab-a-b]=ea(a-b)=0,所以a=b,所以f(x)=(x-a)2ex,f'(x)=ex[x2+(2-2a)x+a2-2a]=ex(x-a)[x-(a-2)].令f'(x)=0,得x=a或x=a-2,当x∈(-∞,a-2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a-2)上单调递增,当x∈(a-2,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(a-2,a)上单调递减,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a-2处有极大值为f(a-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以b=2.规律方法

求函数f(x)极值的一般解题步骤

对点训练若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(

)A.-1 B.-2e-3C.5e-3

D.1答案

A解析

因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)],依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1),令f'(x)=0考点二利用导数研究函数的最值问题例题(1)(2022·全国乙,文11)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(

)答案

(1)D

(2)1规律方法

求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.对点训练(1)(2023·湖北武汉高三期末)函数f(x)=|2ex-1|-2x的最小值为

.

(2)(2022·全国甲,文8)当x=1时,函数f(x)=alnx+取得最大值-2,则f'(2)=(

)答案

(1)1

(2)B解析

(1)当x≥-ln

2时,2ex-1≥0,此时f(x)=2ex-1-2x,f'(x)=2ex-2,令f'(x)>0得x>0,令f'(x)<0得-ln

2≤x<0,故此时f(x)=2ex-1-2x在x=0处取得最小值,f(0)=1;当x<-ln

2时,2ex-1<0,此时f(x)=1-2ex-2x,此时f(x)=1-2ex-2x在(-∞,-ln

2)上单调递减,且f(-ln

2)=2ln

2>1.综上,函数f(x)=|2ex-1|-2x的最小值为1.考点三利用导数解决实际问题例题(2022·山东泰安高三检测)某地打算修建一条公路,但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线,为了保护野生动物,决定修建高架桥,为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好,两端的桥墩相距1200米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为500万元,距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为10x[ln(x+12)-3]万元,假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)需新建多少个桥墩才能使y最小?并求出其最小值.参考数据:ln2≈0.69,ln3≈1.1.令y'=0,即x2-50(x+12)=0,解得x=-10(舍)或x=60.当0<x<60时,y'<